空间位置关系与平行

点、直线、平面与基本事实

空间几何以点、直线、平面为基本对象。点用 $A,B,P$ 等表示，直线用 $a,b,l$ 等表示，平面用 $\alpha,\beta$ 等表示。把直线、平面看成点集后，$P\in l$ 表示点在直线上，$P\in\alpha$ 表示点在平面内，$l\subseteq\alpha$ 表示直线的每一点都在平面内。

本节采用下列欧氏空间的基本事实，不把它们当作需要由后文结论证明的定理。

1. 直线上的两个不同点都在平面内，则整条直线都在平面内。
2. 两个不同平面有公共点时，其公共部分是一条经过这个点的直线。
3. 三个不共线的点确定唯一的平面。
4. 两条不同直线若平行于同一条直线，则它们互相平行。

“不同”和“不共线”保证结论中的唯一性。两个重合平面的公共部分是整个平面；三个共线点可以同时属于多个平面。

按公共点和共面性分类

异面直线既不相交，也不平行。“直线在平面外”只表示直线不全在平面内，仍可能与平面相交。涉及重合对象时，须在这张表之外单独处理。

两直线相交于 $P$ 可严格写成 $l\cap m=\{P\}$；两个平面相交于 $a$ 写成 $\alpha\cap\beta=a$。若若干点、直线都包含在同一平面中，就称它们共面。

平行关系：判定与性质

线面平行的判定

若 $a\not\subseteq\alpha$，$b\subseteq\alpha$，且 $a\parallel b$，则 $a\parallel\alpha$。

证明。 平行直线 $a,b$ 确定一个平面 $\beta$。因为 $a$ 不在 $\alpha$ 内，$\beta\ne\alpha$；两平面的公共直线就是 $b$。假设 $a$ 与 $\alpha$ 有公共点 $P$，则 $P$ 同时属于 $\beta$，从而 $P\in b$，这与 $a\parallel b$ 矛盾。

从线面平行得到线线平行

(1) 若 $a\parallel\alpha$，$a\subseteq\beta$，且 $\alpha\cap\beta=b$，则 $a\parallel b$。

证明。 两线同在 $\beta$ 内。若有交点，该点也在 $\alpha$ 内，与 $a\parallel\alpha$ 矛盾；故两线平行。

(2) 若 $a$ 同时平行于两个相交平面 $\alpha,\beta$，且 $\alpha\cap\beta=b$，则 $a\parallel b$。

证明。 任取 $P\in b$，过 $P$ 作 $a$ 的平行线 $c$。由 (1)，一个过 $a,P$ 的平面与 $\alpha$ 的交线必平行于 $a$，因而就是 $c$，所以 $c\subseteq\alpha$。对 $\beta$ 同理，$c\subseteq\beta$；因此 $c=b$，即 $a\parallel b$。

面面平行的判定

若平面 $\alpha$ 内有两条相交直线 $a,b$ 都平行于平面 $\beta$，则 $\alpha\parallel\beta$。

证明。 两平面不可能重合，否则 $a,b$ 将在 $\beta$ 内。若两平面交于 $c$，由线面平行性质，$a\parallel c$ 且 $b\parallel c$，于是 $a\parallel b$，与相交矛盾。

一个常用的等价配置是：两不同平面内各有两条相交直线，而且对应直线分别平行。它们给出相同的两个独立方向，因此两平面平行。也可先用线面判定，把它化为前一条定理。

面面平行的性质

若 $\alpha\parallel\beta$，第三个平面 $\gamma$ 与它们分别交于 $a,b$，则 $a\parallel b$。因为 $a,b$ 同在 $\gamma$ 内，若相交，交点就同时属于 $\alpha,\beta$，与平行矛盾。

空间中两个角的对应边分别平行且方向相同时，两角相等；若仅一组边方向相反，两角互补。用这条等角性质平移异面直线后，取不超过 $90^\circ$ 的夹角，便得到两条直线所成的角。