向量运算与基底

向量、加减法与数乘

向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段表示。向量 $\overrightarrow{AB}$ 的方向从 $A$ 指向 $B$，长度 $|AB|$ 称为它的模，记作 $|\overrightarrow{AB}|$。本页讨论可自由平移的向量：长度相等、方向相同的有向线段表示同一个向量，不要求起点相同。

模为零的向量叫零向量，记作 $\mathbf0$；模为一的向量叫单位向量。零向量没有唯一方向，涉及夹角时应把它单独处理。向量 $\mathbf a$ 的相反向量记作 $-\mathbf a$，长度相同、非零时方向相反。

加法与减法

将第二个向量的起点平移到第一个向量的终点，从第一个起点指向最后终点的向量就是和：

这称为三角形法则。若两向量共起点，以它们为邻边作平行四边形，从公共起点指向对角顶点的对角线表示向量和。

减法定义为加上相反向量：$\mathbf a-\mathbf b=\mathbf a+(-\mathbf b)$。特别地，

向量加法满足交换律和结合律：

向量减法不满足交换律或结合律；例如 $\mathbf a-\mathbf0=\mathbf a$，而 $\mathbf0-\mathbf a=-\mathbf a$。

实数与向量相乘

对实数 $\lambda$，向量 $\lambda\mathbf a$ 的模为 $|\lambda|\,|\mathbf a|$。当 $\mathbf a\ne\mathbf0$ 时，$\lambda>0$ 保持方向，$\lambda<0$ 改为反向，$\lambda=0$ 得零向量。数乘满足

共线与基底

给定非零向量 $\mathbf b$，向量 $\mathbf a$ 与它共线，当且仅当存在实数 $\lambda$ 使 $\mathbf a=\lambda\mathbf b$。这里允许 $\mathbf a=\mathbf0$，对应 $\lambda=0$。

平面内两个不共线向量 $\mathbf e_1,\mathbf e_2$ 构成一组基底。任意平面向量可唯一表示为 $x\mathbf e_1+y\mathbf e_2$。存在性可通过沿两基向量方向作平行四边形分解得到。

若同一向量还有表示 $x'\mathbf e_1+y'\mathbf e_2$，相减得 $(x-x')\mathbf e_1+(y-y')\mathbf e_2=\mathbf0$。只要有一个系数非零，就会推出两个基向量共线，矛盾；因此两系数都为零，表示唯一。

向量的坐标及共线判定

在直角坐标系中，取沿两坐标轴正方向的单位向量 $\mathbf i,\mathbf j$。若 $\mathbf a=x\mathbf i+y\mathbf j$，则称 $(x,y)$ 为 $\mathbf a$ 的坐标。

若 $A=(x_A,y_A),B=(x_B,y_B)$，由 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$，得到

设 $\mathbf a=(x_1,y_1),\mathbf b=(x_2,y_2)$，则

坐标加减与数乘来自基底展开后合并同一基向量的系数；模公式来自勾股定理。

共线的坐标判据是

若 $\mathbf b\ne0$，可选它的一个非零坐标求比例系数，等式保证另一个坐标具有相同比例；若 $\mathbf b=0$，等式自动成立，与零向量的共线约定一致。不要把它改写为无条件的 $x_1/x_2=y_1/y_2$，因为某个分母可能为零。

有向分点的坐标公式

设 $A\ne B$，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PB}$。以同一原点记录位置向量，原式为 $\mathbf p-\mathbf a=\lambda(\mathbf b-\mathbf p)$，所以

若 $\lambda=-1$，原式将推出 $A=B$，因此不可能。坐标公式为

$\lambda>0$ 对应内分点；$\lambda<0$ 且 $\lambda\ne-1$ 对应外分点；$\lambda=0$ 给出端点 $A$。有限的 $\lambda$ 不能表示端点 $B$。这里是有向向量的比例，不能将外分时的负号解释为负的线段长度。内分的无向长度比及重心的应用见分点、重心与向量几何。