取大取小函数与含参数的一致最值

多个表达式逐点取大或取小，得到的新函数通常需要分段。参数最值还多一层量词：先固定参数，再对整个自变量范围取最大值。

最大最小值的定义与复合最值的处理准则

设 $f:D\to\mathbb R$ 。 $M$ 是最大值，指存在 $x_0\in D$ 使 $f(x_0)=M$ ，且对所有 $x\in D$ 有 $f(x)\le M$ ；最小值 $m$ 同样要求存在取值点且 $f(x)\ge m$ 。上界或下界没有取到时，不能称为最大值或最小值。

若 $D$ 存在最小元素 $a$ 、最大元素 $b$ ，且 $f$ 在 $D$ 上递增，则最小值为 $f(a)$ 、最大值为 $f(b)$ ；递减时对调。这是由 $a\le x\le b$ 直接应用单调性得到，不要求另加连续性。缺少端点时须单独判断是否能取到，不能自动把极限当最值。

对 $F(x)=\max_i f_i(x)$ 或 $G(x)=\min_i f_i(x)$ 再求最大、最小，称为复合最值。常用的五种处理方法是：

图像与分段：先解各对函数的相等位置，判断每段由哪条曲线取到内层最大或最小，再求这些段上的最值及交接点值。
先确定内层：利用单调性、符号、大小关系固定内层的取值者，化为普通函数；必须覆盖参数的全部情形。
均值估计：由 $\min_i u_i\le\frac1n\sum_i u_i\le\max_i u_i$ 得到界，再检验这些 $u_i$ 能否同时相等、原约束是否允许。界与可达性缺一不可。
设元消参：若 $t=\max_i u_i$ ，必有所有 $u_i\le t$ 且至少一项等于 $t$ ；最小值则相反。用这些条件消去原变量，再反向构造检验允许的 $t$ 。
先猜后证：试探只能提出候选值，正式证明仍分为对所有对象的界、至少一个达到该界的对象；若只能逼近，报告上确界或下确界。

逐点取大与分段的来源

在共同定义域 $D$ 上定义

F(x)=\max\{f_1(x),\ldots,f_m(x)\}.

其图像在每个横坐标取各图像中的最高点；取小函数对应最低点。对两个实数 $u,v$ ，

\max(u,v)=\frac{u+v+|u-v|}{2},\qquad \min(u,v)=\frac{u+v-|u-v|}{2}.

先求各分支的交点，再在划分出的区间判断谁最大，可以写出 $F$ 的分段式。交点不一定都是实际分段点，因为相交的两支可能始终低于第三支。有限个连续函数取大仍连续，但交接处未必可导。

最小值可能在交点，也可能在分支内部

求 $F(x)=\max\{1-x,1+x/3,x^2\}$ 在实数上的最小值。若 $x\le0$ ，第一项至少为 $1$ ；若 $x\ge0$ ，第二项至少为 $1$ 。故 $F(x)\ge1$ ，且 $F(0)=1$ ，最小值是 $1$ ，唯一在 $x=0$ 取得。

一般求取大函数的最小值，可检查有效分支内部的驻点、不可导点、分支交接点和定义域边界；无界区间还须检查远处行为。不能只令两支相等。例如 $\max\{x^2+1,0\}=x^2+1$ 的最小值在 $x=0$ ，两支处处不相等。

含参数最值的量词与上下界证据

设每个参数 $a$ 对应 $M(a)=\max_{x\in D}F_a(x)$ ，并假定这个最大值存在。要证明 $\min_aM(a)=L$ ，需要两件事：对所有允许的 $a$ ，证明 $M(a)\ge L$ ；找到一个允许的 $a_*$ ，证明对所有 $x\in D$ 有 $F_{a_*}(x)\le L$ ，并有某个点取到 $L$ 。

任选有限个测试点 $x_i\in D$ ，都有 $M(a)\ge\max_iF_a(x_i)$ 。测试点可帮助猜测参数，但只检查这些点无法保证全区间都不超过候选值。“把几个峰调成一样高”只有在整体上界被证明后才构成完整解答。

例：绝对值二次式的一致最小上界

对实参数 $a$ ，令

M(a)=\max_{-1\le x\le1}\bigl(|x^2+a|+|x|\bigr).

每个 $a$ 下函数连续，最大值存在。取 $|x|=1$ 与 $|x|=1/2$ ，并分别使用 $|u|\ge u$ 、 $|u|\ge-u$ ，得到

M(a)\ge a+2,\qquad M(a)\ge\frac14-a.

故 $M(a)\ge[(a+2)+(1/4-a)]/2=9/8$ 。候选参数由两条直线相交给出 $a_*=-7/8$ 。

令 $t=|x|\in[0,1]$ 。若 $t^2\le7/8$ ，则

|t^2-7/8|+t=\frac98-(t-1/2)^2\le\frac98.

若 $t^2\ge7/8$ ，则 $t^2-7/8+t\le1-7/8+1=9/8$ 。因此 $M(-7/8)=9/8$ ，在 $t=1/2$ 或 $1$ 取到。若要 $M(a)=9/8$ ，两条下界同时要求 $a\le-7/8$ 与 $a\ge-7/8$ ，所以最优参数唯一。

等高端点的最佳直线逼近

设 $f$ 在 $[L,U]$ 上连续， $L<U$ ， $f(L)=f(U)=H$ ，且所有函数值都在 $[m,H]$ 内，某个内点 $c$ 取到 $m<H$ 。则

\min_{a,b}\max_{x\in[L,U]}|f(x)-ax-b|=\frac{H-m}{2},

唯一最优直线为常数 $(H+m)/2$ 。

证明：设某条直线 $\ell(x)=ax+b$ 的误差不超过 $E$ 。端点给 $\ell(L),\ell(U)\ge H-E$ ，内点线性插值给 $\ell(c)\ge H-E$ ；在 $c$ 处又有 $\ell(c)\le m+E$ ，所以 $E\ge(H-m)/2$ 。常数 $(H+m)/2$ 显然达到这个界。取等时，内点是两个端点值的严格正权平均，因此两个端点值必须都为 $(H+m)/2$ ，直线唯一。若 $m=H$ ，函数恒定，零误差也只由同一常数取得。等高端点在下、内点在上的情况可对 $-f$ 使用本结论。

连续凸函数的一次逼近也可归入此式：先减去连接两个端点的弦线 $h$ ，得到端点为零、内部非正的函数；求其最小值 $-D$ 后，最佳逼近为 $h-D/2$ 。不要求凸函数严格凸，也不要求最小值点唯一。