分式和函数：单调分支、零点与交错

多个简单分式之和可以先按分母为零的点分区间。系数同号时，单调性直接控制每一段的零点；系数异号时，需要重新分析。

先整理分母为零的点

考虑

F(x)=\sum_{i=1}^n\frac{c_i}{x-a_i}.

先把相同 $a_i$ 的项合并，再判断合并后的系数是否为零。只有互异的 $a_i$ 且相应合并系数非零，才各自给出一条竖直渐近线。

例如 $1/(x-1)-1/(x-1)+1/(x+1)$ 在原定义域 $\mathbb R\setminus\{-1,1\}$ 上等于 $1/(x+1)$ 。 $x=1$ 是原式的缺失点，不是竖直渐近线；约分后若补上这个点，就已经改变了函数定义域。

因此“有 $n$ 项就有 $n$ 条竖直渐近线”不成立。后文固定 $a_1<\cdots<a_n$ 且 $c_i>0$ ，不含上述退化情况。

在各个定义区间内，

F'(x)=-\sum_{i=1}^n\frac{c_i}{(x-a_i)^2}<0.

所以每一段严格递减。对于 $(a_j,a_{j+1})$ ， $x$ 从右侧接近 $a_j$ 时， $F(x)$ 任意大；从左侧接近 $a_{j+1}$ 时， $F(x)$ 任意小。函数在段内连续，因此恰好经过零一次。

在 $(-\infty,a_1)$ 上各项均负，在 $(a_n,+\infty)$ 上各项均正，均无零点。因此实零点总数为 $n-1$ ，分别落在各对相邻分母零点之间。 $n=1$ 时没有零点。

更一般地， $F(x)=k$ 在每个中间区间总有且仅有一解；左侧区间恰在 $k<0$ 时有一解，右侧区间恰在 $k>0$ 时有一解。这是因为两外侧区间的值域分别为 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 。

记

Q(x)=\prod_{i=1}^n(x-a_i),\qquad P(x)=\sum_{i=1}^n c_i\prod_{j\ne i}(x-a_j).

则定义域内 $F=P/Q$ 。 $P$ 的次数为 $n-1$ ，首项系数为 $\sum c_i>0$ ；且

P(a_i)=c_i\prod_{j\ne i}(a_i-a_j)\ne0.

所以通分未在 $a_i$ 处产生可约去的因子。若 $n\ge2$ ，记 $P$ 的零点为 $b_1,\ldots,b_{n-1}$ ，上节证明给出

a_1<b_1<a_2<b_2<\cdots<b_{n-1}<a_n.

这些根也都是单根：在零点 $b$ 处 $P'(b)=Q(b)F'(b)\ne0$ 。

特别地，若实多项式 $Q$ 的全部根互异且均为实数，则由乘积求导

\frac{Q'(x)}{Q(x)}=\sum_{i=1}^n\frac1{x-a_i}.

于是 $Q'$ 的根与 $Q$ 的根严格交错。这一推导同时说明为什么“互异实根”条件不可省略。

求

\frac1{x+1}+\frac2x+\frac1{x-2}=0.

先排除 $x=-1,0,2$ 。系数均正，故恰有两根，一根在 $(-1,0)$ ，另一根在 $(0,2)$ 。通分的分子为

x(x-2)+2(x+1)(x-2)+x(x+1)=4x^2-3x-4.

所以两根为 $(3-\sqrt{73})/8$ 、 $(3+\sqrt{73})/8$ ，确实分别位于上述区间。区间分析预先给出了根数与位置，可用来检查计算是否漏根或出现增根。

例如

G(x)=\frac1{x+1}-\frac1{x-1}=\frac{-2}{x^2-1}

在 $(-1,1)$ 上始终为正，一个零点也没有；其导数为 $4x/(x^2-1)^2$ ，该区间先减后增。两条竖直渐近线之间不一定有零点。

若所有系数均负，可整体乘 $-1$ 还原前述结论，零点位置不变。若正负混合，应计算导数、通分分子或使用其他条件，不能只看分母零点的顺序。