柯西不等式与分式形式

柯西不等式估计两个数列的乘积和，几何上对应投影长度不超过原向量长度。

定理与等号

对实数 $a_i,b_i$ （ $1\le i\le n$ ），

\left(\sum a_ib_i\right)^2\le\left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right).

等号当且仅当两个向量线性相关，包含其中一个零向量的情形。当所有 $y_i>0$ 时，取 $a_i=x_i/\sqrt{y_i}$ 、 $b_i=\sqrt{y_i}$ 得

\sum\frac{x_i^2}{y_i}\ge\frac{(\sum x_i)^2}{\sum y_i}.

分式形式取等当且仅当 $x_i/y_i$ 全相等。

设 $a_i,b_i\in\mathbb R$ ， $i=1,\ldots,n$ 。将乘积与平方分别展开：

\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) =\sum_i a_i^2b_i^2+\sum_{i<j}(a_i^2b_j^2+a_j^2b_i^2),

\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2 =\sum_i a_i^2b_i^2+2\sum_{i<j}a_ib_ia_jb_j.

相减，含相同下标的项抵消，其余每对下标组成一个完全平方：

\left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right)-\left(\sum a_ib_i\right)^2 =\sum_{i<j}(a_ib_j-a_jb_i)^2\ge0.

等号当且仅当对所有 $i,j$ 有 $a_ib_j=a_jb_i$ 。若所有 $b_i=0$ ，等号对任意 $a_i$ 成立；若存在 $b_j\ne0$ ，则 $a_i=(a_j/b_j)b_i$ 对每个 $i$ 成立。这样同时包含零向量情形，不需要使用可能无定义的比值 $a_i/b_i$ 。

另设 $A=\sum a_i^2$ ， $B=\sum a_ib_i$ ， $C=\sum b_i^2$ 。如果 $A=0$ ，则所有 $a_i=0$ ，柯西不等式两边都为零。

若 $A>0$ ，考虑对一切实数 $t$ 都非负的二次函数

F(t)=\sum_{i=1}^n(a_it-b_i)^2=At^2-2Bt+C.

其最小值为 $C-B^2/A\ge0$ ，即 $B^2\le AC$ 。也可由判别式 $4B^2-4AC\le0$ 得出同一结论。

当取等时， $t=B/A$ 处 $F(t)=0$ ，每个平方项都为零，故 $b_i=(B/A)a_i$ 对全部下标成立。这与平方和证明的线性相关条件一致。单独处理 $A=0$ 后，才能把 $F$ 当作真正的二次函数使用。

以下都由柯西不等式代入两组量得到。代入前检查开方与除法是否有定义。

分别代入 $(a_i,1)$ 、 $(\sqrt{x_i},1/\sqrt{x_i})$ 、 $(\sqrt{u_i},1)$ ，得到

n\sum_{i=1}^na_i^2\ge\left(\sum_{i=1}^na_i\right)^2\quad(a_i\in\mathbb R),

\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)\left(\sum_{i=1}^n\frac1{x_i}\right)\ge n^2\quad(x_i>0),

\sum_{i=1}^n\sqrt{u_i}\le\sqrt{n\sum_{i=1}^nu_i}\quad(u_i\ge0).

三式分别在所有 $a_i$ 、所有 $x_i$ 、所有 $u_i$ 相等时取等。

若 $a_i,b_i\ge0$ ，则

\left(\sum a_i\right)\left(\sum b_i\right)\ge\left(\sum\sqrt{a_ib_i}\right)^2.

代入 $\sqrt{a_i},\sqrt{b_i}$ 即得。等号条件为这两组平方根线性相关；两组都非零时等价于存在 $c>0$ 使 $a_i=cb_i$ 对所有下标成立。一组全零时自动取等。

若 $a_i\ge0$ 且不全为零、 $b_i>0$ ，则

\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{b_i}\ge\frac{(\sum_{i=1}^na_i)^2}{\sum_{i=1}^na_ib_i}.

证明。 对 $\sqrt{a_i/b_i}$ 与 $\sqrt{a_ib_i}$ 应用柯西，得到

\left(\sum\frac{a_i}{b_i}\right)\left(\sum a_ib_i\right)\ge\left(\sum a_i\right)^2.

第二因子为正，除以它便得结论。取等要求所有满足 $a_i>0$ 的下标具有相同的 $b_i$ ； $a_i=0$ 的下标不限制 $b_i$ 。允许任意负的 $a_i$ 会破坏结论，也使这里的平方根代入失效。

正数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=1$ ，则 $1/a+1/b+1/c\ge(1+1+1)^2=9$ ，等号在 $a=b=c=1/3$ 取得。

分式形式要求各分母为正。若希望估计 $\sum x_i$ ，应看清是否需要绝对值；平方形式本身并不说明内积为正。