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基本导数与复合求导

基础更新于 2026-09-29

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求导前先认清外层运算，再逐层处理。复杂表达式经代数化简后往往更容易求导。

基本函数导数逐项表

下表在函数有定义且可导的区间内使用，三角函数自变量用弧度。

函数	导数	条件
$C$	$0$	$C$ 为常数
$x^\alpha$	$\alpha x^{\alpha-1}$	任意实指数可统一在 $x>0$ 上使用；整数及有理指数可按定义域另扩展
$a^x$	$a^x\ln a$	$a>0$ ； $a=1$ 时导数为零
$e^x$	$e^x$	$x\in\mathbb R$
$\log_a x$	$1/(x\ln a)$	$a>0,a\ne1,x>0$
$\ln x$	$1/x$	$x>0$
$\sin x$	$\cos x$	$x\in\mathbb R$
$\cos x$	$-\sin x$	$x\in\mathbb R$
$\tan x$	$1/\cos^2x$	$\cos x\ne0$
$\cot x$	$-1/\sin^2x$	$\sin x\ne0$

负整数幂需 $x\ne0$ ；例如 $x^{1/3}$ 在零点有定义但没有有限导数，不能仅检查原函数有定义。整数幂公式由差商展开并约去 $h$ 得到；正弦公式利用和角公式及 $\sin h/h\to1,(\cos h-1)/h\to0$ ，余弦类似。指数、对数基本导数作为高中常用公式使用。

基本导数公式的证明依据

下面使用导数定义、极限四则运算及两个基本极限：

\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1,\qquad \lim_{u\to0}(1+u)^{1/u}=e.

第一个极限中角以弧度计；它可由单位圆面积比较得到 $\cos h\le\sin h/h\le1$ （ $0<|h|<\pi/2$ ）再夹逼。第二个极限是自然底数 $e$ 的基本性质，本页将其作为基础结论使用。

整数幂与三角函数

对正整数 $n$ ，由二项式展开，

\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=nx^{n-1}+\binom n2x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1},

令 $h\to0$ ，得 $(x^n)'=nx^{n-1}$ 。常数导数由零差商得到；负整数幂可再用倒数法则。

由和角公式，

\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} =\sin x\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\frac{\sin h}{h}.

又 $(\cos h-1)/h=-\sin(h/2)\,[\sin(h/2)/(h/2)]\to0$ ，所以极限为 $\cos x$ 。对余弦作同样展开，得 $(\cos x)'=-\sin x$ 。用商法则进一步得到

(\tan x)'=\frac1{\cos^2x}\quad(\cos x\ne0),\qquad (\cot x)'=-\frac1{\sin^2x}\quad(\sin x\ne0).

对数、指数与实数幂

对 $x>0$ ，令 $u=h/x$ ，利用对数的连续性和第二个基本极限，

\frac{\ln(x+h)-\ln x}{h}=\frac1x\ln(1+u)^{1/u}\longrightarrow\frac1x.

因此 $(\ln x)'=1/x$ ，再由换底式 $\log_a x=\ln x/\ln a$ 得 $1/(x\ln a)$ 。指数与对数互逆，反函数求导给 $(e^x)'=e^x$ 。最后用 $a^x=e^{x\ln a}$ 、 $x^\alpha=e^{\alpha\ln x}$ 和链式法则，得到表中的指数与实幂公式。任意实指数统一要求 $x>0$ ；其他定义域应另行核对。

求导的运算法则及乘积公式的证明

设 $u,v$ 在所讨论点可导， $c$ 为常数。则

(u+v)'=u'+v',\qquad(u-v)'=u'-v',\qquad(cu)'=cu',

(uv)'=u'v+uv',

\left(\frac1v\right)'=-\frac{v'}{v^2},\qquad \left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\quad(v\ne0).

非零条件只对倒数和商有要求；和、差、积并不要求函数值非零。

乘积公式为何有两个加项

在 $x$ 处考察增量，将分子拆成两部分：

\begin{aligned} &u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)\\ &=[u(x+h)-u(x)]v(x+h)+u(x)[v(x+h)-v(x)]. \end{aligned}

除以 $h\ne0$ 。当 $h\to0$ 时，两个差商分别趋于 $u'(x)$ 和 $v'(x)$ ；可导蕴含连续，故 $v(x+h)\to v(x)$ 。于是得到 $u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$ 。

倒数的差商可写为

\frac{1/v(x+h)-1/v(x)}h =-\frac{v(x+h)-v(x)}{h\,v(x+h)v(x)}.

$v(x)\ne0$ 且连续保证充分靠近该点时分母非零，取趋近值得 $-v'(x)/v(x)^2$ 。再把商写成 $u\cdot(1/v)$ ，应用乘积公式即得商法则。

复合函数求导

若内函数 $g$ 在 $x$ 可导，外函数 $f$ 在 $g(x)$ 可导，则

[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x).

这是本页采用的基本求导定理。先对外层求导并保留内层表达式，再乘内层导数。例如 $[\sin(x^2)]'=\cos(x^2)\cdot2x$ 。漏掉 $2x$ ，就只计算了对中间变量 $x^2$ 的变化率。

链式法则的证明、反函数与隐式求导

链式法则在内层增量为零时仍然有效

设 $g$ 在 $x_0$ 可导， $f$ 在 $u_0=g(x_0)$ 可导。在 $v\ne0$ 时定义

\varepsilon(v)=\frac{f(u_0+v)-f(u_0)}v-f'(u_0),

并令 $\varepsilon(0)=0$ 。于是 $\varepsilon(v)\to0$ ，且对所有充分小的 $v$ （包括零）都有

f(u_0+v)-f(u_0)=[f'(u_0)+\varepsilon(v)]v.

取 $v=g(x_0+h)-g(x_0)$ 。可导蕴含连续，所以 $v\to0$ ；将上式除以 $h$ ，得到

\frac{f(g(x_0+h))-f(g(x_0))}{h} =[f'(u_0)+\varepsilon(v)]\frac{g(x_0+h)-g(x_0)}h \longrightarrow f'(u_0)g'(x_0).

这证明链式法则，也避免了直接除以内层增量时遗漏 $v=0$ 的问题。三层复合逐层应用得到

[f(g(h(x)))]'=f'(g(h(x)))g'(h(x))h'(x).

反函数求导

若 $f$ 在相应区间一一对应，逆函数在所论点可导且 $f'(x)\ne0$ ，对 $f(f^{-1}(y))=y$ 求导，得

(f^{-1})'(y)=\frac1{f'(x)},\qquad x=f^{-1}(y).

常用充分条件是原函数在邻域连续可导且该点导数非零。说明如下：设 $f'(x_0)\ne0$ ，由导数连续性，可取一个小区间使导数保持同一严格符号，中值定理保证 $f$ 在该区间严格单调。因此它有连续的逆函数。令 $y_0=f(x_0)$ 、 $x=f^{-1}(y)$ ，当 $y\to y_0$ 时 $x\to x_0$ ，并且 $y\ne y_0$ 对应 $x\ne x_0$ ，故

\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0} =\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}\longrightarrow\frac1{f'(x_0)}.

这直接证明逆函数可导并给出公式，无须先假定它可导。此处逆函数连续的依据是：在 $x_0$ 两侧取任意靠近的点，严格单调性使其函数值将 $y_0$ 夹在中间，足够接近 $y_0$ 的输出只能来自这两个点之间。

导数为零时不能直接取倒数，如 $x^3$ 的反函数在零点没有有限导数。

隐式关系

若已知可导分支 $y=y(x)$ 满足 $F(x,y)=0$ ，把每个 $y$ 视为关于 $x$ 的函数再求导。例如椭圆

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

给出 $2x/a^2+2yy'/b^2=0$ ，因此 $y'=-b^2x/(a^2y)$ （ $y\ne0$ ）。 $y=0$ 的两个顶点对应竖直切线，须用无斜率的直线方程处理。单纯给出一个方程并不保证每处都能唯一地解成可导的 $y(x)$ 。

多因子乘积的求导

设 $f_1,\ldots,f_n$ 在所论点都可导， $n\ge2$ 。则

\left(\prod_{j=1}^nf_j\right)'= \sum_{i=1}^n f_i'\prod_{\substack{1\le j\le n\\j\ne i}}f_j.

每个加项只对一个因子求导，其他因子保持原样；各函数值允许为零。

证明。 $n=2$ 即乘积法则。若对 $n$ 个因子成立，将前 $n$ 个因子的积记为 $G$ ，则 $(Gf_{n+1})'=G'f_{n+1}+Gf_{n+1}'$ 。前一项按归纳假设展开，给出前 $n$ 个因子分别求导的项，后一项给出第 $n+1$ 个因子求导的项，完成归纳。

仅当所有因子都非零时，才可进一步写成

\frac{(f_1\cdots f_n)'}{f_1\cdots f_n}=\sum_{i=1}^n\frac{f_i'}{f_i}.

因此“对数求导”形式有额外非零条件；若某因子为零，使用前一个无除法公式。

对数求导

若 $y=f(x)$ 在一个区间上可导且不为零，则

(\ln|y|)'=\frac{y'}y.

因此乘积、商或含变量指数的正值函数，可以先取对数再求导。若 $u(x)>0$ ， $u,v$ 可导， $y=u(x)^{v(x)}$ ，则

y'=u^v\left(v'\ln u+v\frac{u'}u\right).

例如 $x>0$ 时 $(x^x)'=x^x(\ln x+1)$ 。不能把变量指数当作常数而写成 $x\cdot x^{x-1}$ 。若原函数存在零点，对数变换在零点处失效，需要回到原式单独计算；负底数的实数变指数也不能直接套用本式。

例

$f(x)=\ln(1+x^2)$ 的定义域为 $\mathbb R$ ，导数为 $2x/(1+x^2)$ 。 $g(x)=x e^{-x}$ 的导数为 $e^{-x}(1-x)$ ，指数内的 $-x$ 贡献一个负号。

先辨认最外层运算再求导

设 $f(x)=\ln(x^2+1)$ 。最外层为对数，内层导数为 $2x$ ，故 $f'(x)=2x/(x^2+1)$ ，定义域为全体实数。

设 $g(x)=x^2e^{-x}$ 。最外层为乘积，两因子均须求导：

g'(x)=2xe^{-x}-x^2e^{-x}=x(2-x)e^{-x}.

对 $h(x)=\ln x/x$ ，先限定 $x>0$ ，再用商法则得 $h'(x)=(1-\ln x)/x^2$ 。最后的因式分解或通分不仅为了简洁，也为了下一步判断符号。

三角函数求导公式中的自变量以弧度计。若把 $\sin(\pi x/180)$ 作为关于角度数值 $x$ 的函数，导数还需乘 $\pi/180$ 。

易错点

$(uv)'$ 不是 $u'v'$ ；复合求导不能漏内层导数。导数公式只在可导点适用，不能用形式计算掩盖尖点或分段连接点。

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