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和差、倍角、半角与和积公式

基础更新于 2026-09-29

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本页从诱导公式和和差公式出发，依次整理倍角、降幂、和积互化、半角及万能公式，并说明各组公式的推导关系。正弦、余弦恒等式通常适用于任意实角；正切和分式形式需要额外检查分母。

诱导公式完整表与符号来源

下表各式在对应函数有定义处成立；s=sin⁡x,c=cos⁡x,t=tan⁡x,q=cot⁡xs=\sin x,c=\cos x,t=\tan x,q=\cot x。

角 正弦 余弦 正切 余切
−x-x −s-s cc −t-t −q-q
π−x\pi-x ss −c-c −t-t −q-q
π+x\pi+x −s-s −c-c tt qq
π/2−x\pi/2-x cc ss qq tt
π/2+x\pi/2+x cc −s-s −q-q −t-t
3π/2−x3\pi/2-x −c-c −s-s qq tt
3π/2+x3\pi/2+x −c-c ss −q-q −t-t
2π−x2\pi-x −s-s cc −t-t −q-q
2π+x2\pi+x ss cc tt qq

加 2kπ2k\pi 不改六种三角函数；正切、余切还可加 kπk\pi。正割、余割的对应式分别把余弦、正弦的结果取倒数，零分母处仍排除。

证明来源是单位圆上的反射和直角旋转：关于 xx 轴反射使 (c,s)(c,s) 变为 (c,−s)(c,-s)；半周使它变为 (−c,−s)(-c,-s)；转过 π/2\pi/2 使它变为 (−s,c)(-s,c)。组合这三种动作得到表中正弦和余弦的每行，商则给出正切和余切。所谓“奇变偶不变”只是这些对应的记忆法，不应代替具体公式及定义域。

求值时先减去整周，化到 [0,2π)[0,2\pi)；再用反射和互余化到第一象限或坐标轴，保留符号；最后应用已知值。轴上角须直接检查定义，不能都当作锐角。

和角、差角与二倍角公式

以下角均为实数。正弦、余弦公式不附加角度范围；含正切或分式时须检查定义域。角度可用弧度或角度制，但同一式中须统一。

和角与差角：六个公式

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β,sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β,cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β,cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β.\begin{aligned} \sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,\\ \sin(\alpha-\beta)&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta,\\ \cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\\ \cos(\alpha-\beta)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta. \end{aligned} tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β,tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β.\begin{aligned} \tan(\alpha+\beta)&=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta},\\ \tan(\alpha-\beta)&=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}. \end{aligned}

正切公式要求 cos⁡αcos⁡β≠0\cos\alpha\cos\beta\ne0，且所用的分母 1∓tan⁡αtan⁡β≠01\mp\tan\alpha\tan\beta\ne0；后一个条件保证 cos⁡(α±β)≠0\cos(\alpha\pm\beta)\ne0。例如 α=β=π/2\alpha=\beta=\pi/2 时，左边的 tan⁡(α+β)=0\tan(\alpha+\beta)=0 虽有意义，右边仍不能使用。

二倍角与降幂

sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x,\sin2x=2\sin x\cos x, cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x=1−2sin⁡2x=2cos⁡2x−1,\cos2x=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1, tan⁡2x=2tan⁡x1−tan⁡2x(cos⁡x≠0, tan⁡2x≠1).\tan2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x} \quad(\cos x\ne0,\ \tan^2x\ne1).

移项后得到降幂公式：

sin⁡2x=1−cos⁡2x2,cos⁡2x=1+cos⁡2x2,sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x2.\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2},\qquad \cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2},\qquad \sin x\cos x=\frac{\sin2x}{2}.

和差公式处理“角的加减”；倍角公式统一 x,2xx,2x；降幂公式把二次乘积化成一次三角函数。它们是同一组等式的不同使用方向。

和差与倍角公式的推导起点

采用单位圆定义以及平面两点距离公式。单位圆上角 α,β\alpha,\beta 对应的点为 P=(cos⁡α,sin⁡α)P=(\cos\alpha,\sin\alpha)、Q=(cos⁡β,sin⁡β)Q=(\cos\beta,\sin\beta)。展开坐标距离：

PQ2=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β).PQ^2=2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta).

将整个图形绕原点旋转 −β-\beta，距离不变，两点变为 (cos⁡(α−β),sin⁡(α−β))(\cos(\alpha-\beta),\sin(\alpha-\beta)) 和 (1,0)(1,0)，故

PQ2=2−2cos⁡(α−β).PQ^2=2-2\cos(\alpha-\beta).

比较即得余弦差角公式。把 β\beta 换成 −β-\beta，利用余弦为偶函数、正弦为奇函数，得到余弦和角公式。

再由单位圆的互余关系 sin⁡u=cos⁡(π/2−u)\sin u=\cos(\pi/2-u)，

sin⁡(α+β)=cos⁡((π/2−α)−β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β.\begin{aligned} \sin(\alpha+\beta) &=\cos\bigl((\pi/2-\alpha)-\beta\bigr)\\ &=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta. \end{aligned}

把 β\beta 换成 −β-\beta 得正弦差角公式。将正弦和差公式除以相应的余弦公式，再把分子分母同除以 cos⁡αcos⁡β\cos\alpha\cos\beta，得到正切公式；这两次除法正是需要非零条件的地方。

最后在和角公式中令 α=β=x\alpha=\beta=x，得到二倍角公式。利用 sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2x+\cos^2x=1 消去其中一个平方项，即得到余弦二倍角的三种写法及降幂公式。

积化和差与和差化积：八式及推导

积化和差：四个公式

sin⁡αcos⁡β=sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)2,cos⁡αsin⁡β=sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)2,cos⁡αcos⁡β=cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)2,sin⁡αsin⁡β=cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)2.\begin{aligned} \sin\alpha\cos\beta&=\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}2,\\ \cos\alpha\sin\beta&=\frac{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}2,\\ \cos\alpha\cos\beta&=\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}2,\\ \sin\alpha\sin\beta&=\frac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}2. \end{aligned}

推导时，令 S+=sin⁡(α+β)S_+=\sin(\alpha+\beta)、S−=sin⁡(α−β)S_-=\sin(\alpha-\beta)。两式相加，含 cos⁡αsin⁡β\cos\alpha\sin\beta 的项抵消，得到 S++S−=2sin⁡αcos⁡βS_++S_-=2\sin\alpha\cos\beta；两式相减则得到 S+−S−=2cos⁡αsin⁡βS_+-S_-=2\cos\alpha\sin\beta。

同理令 C+=cos⁡(α+β)C_+=\cos(\alpha+\beta)、C−=cos⁡(α−β)C_-=\cos(\alpha-\beta)。相加得 C++C−=2cos⁡αcos⁡βC_++C_-=2\cos\alpha\cos\beta；用差角减和角得 C−−C+=2sin⁡αsin⁡βC_--C_+=2\sin\alpha\sin\beta。各式除以 22，即为上表。

和差化积：四个公式

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2,sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2,cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2,cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2.\begin{aligned} \sin\alpha+\sin\beta&=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},\\ \sin\alpha-\sin\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2},\\ \cos\alpha+\cos\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},\\ \cos\alpha-\cos\beta&=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}. \end{aligned}

令 u=(α+β)/2,v=(α−β)/2u=(\alpha+\beta)/2,v=(\alpha-\beta)/2，则 u+v=α,u−v=βu+v=\alpha,u-v=\beta。把积化和差四式的角改成 u,vu,v，再把“积”移到右边，依次得到以上四式。最后一式的负号来自 cos⁡(u+v)−cos⁡(u−v)=−2sin⁡usin⁡v\cos(u+v)-\cos(u-v)=-2\sin u\sin v，不能丢掉。

全部八式对任意实数角成立，推导没有除以任何三角函数。

半角公式：平方、根式与正切的不同条件

在降幂公式中把 xx 换为 x/2x/2：

sin⁡2x2=1−cos⁡x2,cos⁡2x2=1+cos⁡x2.\sin^2\frac x2=\frac{1-\cos x}{2},\qquad \cos^2\frac x2=\frac{1+\cos x}{2}.

因而

sin⁡x2=±1−cos⁡x2,cos⁡x2=±1+cos⁡x2.\sin\frac x2=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}},\qquad \cos\frac x2=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}.

这里的 ±\pm 不是可以任选：须分别由 x/2x/2 所在象限决定；两式也不必同号。已知 xx 的范围时，要先除以 22 再判断象限。

正切半角的三种写法须分别列条件：

tan⁡x2=sin⁡x1+cos⁡x(cos⁡x≠−1),\tan\frac x2=\frac{\sin x}{1+\cos x} \quad(\cos x\ne-1), tan⁡x2=1−cos⁡xsin⁡x(sin⁡x≠0),\tan\frac x2=\frac{1-\cos x}{\sin x} \quad(\sin x\ne0), tan⁡x2=±1−cos⁡x1+cos⁡x(cos⁡x≠−1).\tan\frac x2=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}} \quad(\cos x\ne-1).

第一式：代入 sin⁡x=2sin⁡(x/2)cos⁡(x/2)\sin x=2\sin(x/2)\cos(x/2) 和 1+cos⁡x=2cos⁡2(x/2)1+\cos x=2\cos^2(x/2)，约去非零的 2cos⁡(x/2)2\cos(x/2)。第二式：用 1−cos⁡x=2sin⁡2(x/2)1-\cos x=2\sin^2(x/2)，约去非零的 2sin⁡(x/2)2\sin(x/2)。第三式：两条平方半角公式相除后开方，符号由 tan⁡(x/2)\tan(x/2) 决定。

例如 x=0x=0 时第一式成立、第二式无定义；x=4π/3x=4\pi/3 时 x/2x/2 在第二象限，正弦半角取正、余弦半角取负、正切半角取负。不能把三个分式无条件写在一条等号链上。

三倍角公式：多项式形式与正切条件

sin⁡3x=3sin⁡x−4sin⁡3x,cos⁡3x=4cos⁡3x−3cos⁡x,\sin3x=3\sin x-4\sin^3x,\qquad \cos3x=4\cos^3x-3\cos x, tan⁡3x=3tan⁡x−tan⁡3x1−3tan⁡2x(cos⁡x≠0, 1−3tan⁡2x≠0).\tan3x=\frac{3\tan x-\tan^3x}{1-3\tan^2x} \quad(\cos x\ne0,\ 1-3\tan^2x\ne0).

写 s=sin⁡x,c=cos⁡xs=\sin x,c=\cos x，把 3x=2x+x3x=2x+x 展开：

sin⁡3x=2sc⋅c+(1−2s2)s=2s(1−s2)+s−2s3=3s−4s3,cos⁡3x=(2c2−1)c−2sc⋅s=2c3−c−2c(1−c2)=4c3−3c.\begin{aligned} \sin3x&=2sc\cdot c+(1-2s^2)s =2s(1-s^2)+s-2s^3=3s-4s^3,\\ \cos3x&=(2c^2-1)c-2sc\cdot s =2c^3-c-2c(1-c^2)=4c^3-3c. \end{aligned}

正切公式由两式相除得到：先写分子为 3sc2−s33sc^2-s^3、分母为 c3−3cs2c^3-3cs^2，再同除以 c3c^3。它不要求 tan⁡2x\tan2x 存在。例如 x=π/4x=\pi/4 时此公式仍可用，不能因为经由正切二倍角的某条推导中间无定义而额外排除它。

平方差形式的常用恒等式

对任意实数 α,β\alpha,\beta，有

sin⁡2α−sin⁡2β=sin⁡(α+β)sin⁡(α−β),\sin^2\alpha-\sin^2\beta=\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta), cos⁡2α−cos⁡2β=−sin⁡(α+β)sin⁡(α−β),\cos^2\alpha-\cos^2\beta=-\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta), cos⁡2α−sin⁡2β=cos⁡(α+β)cos⁡(α−β).\cos^2\alpha-\sin^2\beta=\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta).

证明。 第一式由

sin⁡2α−sin⁡2β=cos⁡2β−cos⁡2α2=sin⁡(α+β)sin⁡(α−β)\sin^2\alpha-\sin^2\beta=\frac{\cos2\beta-\cos2\alpha}{2} =\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)

得到；第二式用 cos⁡2t=1−sin⁡2t\cos^2t=1-\sin^2t 取相反数。第三式由

cos⁡2α−sin⁡2β=cos⁡2α+cos⁡2β2=cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)\cos^2\alpha-\sin^2\beta=\frac{\cos2\alpha+\cos2\beta}{2} =\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)

得到。它们适合将平方差化为积，以便判断符号、求零点或约分；约分仍须单独保留因子为零的情形。

三倍角的乘积形式及证明

三个乘积公式为

sin⁡3x=4sin⁡xsin⁡(π/3−x)sin⁡(π/3+x),\sin3x=4\sin x\sin(\pi/3-x)\sin(\pi/3+x), cos⁡3x=4cos⁡xcos⁡(π/3−x)cos⁡(π/3+x),\cos3x=4\cos x\cos(\pi/3-x)\cos(\pi/3+x), tan⁡3x=tan⁡xtan⁡(π/3−x)tan⁡(π/3+x).\tan3x=\tan x\tan(\pi/3-x)\tan(\pi/3+x).

前两式对所有实数 xx 成立；第三式要求 cos⁡x,cos⁡(π/3−x),cos⁡(π/3+x)\cos x,\cos(\pi/3-x),\cos(\pi/3+x) 均非零。这也保证它们乘积的四倍 cos⁡3x\cos3x 非零。

先展开两侧偏移角的乘积：

sin⁡(u−v)sin⁡(u+v)=(sin⁡ucos⁡v−cos⁡usin⁡v)(sin⁡ucos⁡v+cos⁡usin⁡v)=sin⁡2ucos⁡2v−cos⁡2usin⁡2v=sin⁡2u−sin⁡2v.\begin{aligned} \sin(u-v)\sin(u+v) &=(\sin u\cos v-\cos u\sin v)(\sin u\cos v+\cos u\sin v)\\ &=\sin^2u\cos^2v-\cos^2u\sin^2v=\sin^2u-\sin^2v. \end{aligned}

取 u=π/3,v=xu=\pi/3,v=x，中间两个正弦的乘积为 3/4−sin⁡2x3/4-\sin^2x；再乘 4sin⁡x4\sin x，得到 3sin⁡x−4sin⁡3x=sin⁡3x3\sin x-4\sin^3x=\sin3x。

余弦情形同样展开：

cos⁡(u−v)cos⁡(u+v)=cos⁡2ucos⁡2v−sin⁡2usin⁡2v=cos⁡2u−sin⁡2v.\cos(u-v)\cos(u+v)=\cos^2u\cos^2v-\sin^2u\sin^2v =\cos^2u-\sin^2v.

取 u=π/3,v=xu=\pi/3,v=x，得 1/4−sin⁡2x=cos⁡2x−3/41/4-\sin^2x=\cos^2x-3/4；乘 4cos⁡x4\cos x 即得 cos⁡3x\cos3x。最后将正弦连乘式除以余弦连乘式，便得到正切连乘式。

例如 x=π/9x=\pi/9 时，sin⁡(π/9)sin⁡(2π/9)sin⁡(4π/9)=sin⁡(π/3)/4=3/8\sin(\pi/9)\sin(2\pi/9)\sin(4\pi/9)=\sin(\pi/3)/4=\sqrt3/8。

任意整数倍角的多项式结构

多倍角不仅有二倍角、三倍角公式。对每个非负整数 nn，存在整系数多项式 TnT_n，使

cos⁡(nx)=Tn(cos⁡x).\cos(nx)=T_n(\cos x).

具体地，

T0(t)=1,T1(t)=t,Tn+1(t)=2tTn(t)−Tn−1(t)(n≥1).T_0(t)=1,\qquad T_1(t)=t,\qquad T_{n+1}(t)=2tT_n(t)-T_{n-1}(t)\quad(n\ge1).

证明。 将余弦和差公式相加，得

cos⁡((n+1)x)+cos⁡((n−1)x)=2cos⁡xcos⁡(nx).\cos((n+1)x)+\cos((n-1)x)=2\cos x\cos(nx).

递推起点为 1,cos⁡x1,\cos x，每一步只做整系数的加减乘法，故得到所述多项式。n≥1n\ge1 时 TnT_n 次数为 nn，首项系数为 2n−12^{n-1}，可由递推逐步证明。比如 T2=2t2−1T_2=2t^2-1、T3=4t3−3tT_3=4t^3-3t、T4=8t4−8t2+1T_4=8t^4-8t^2+1。

正弦的结构与 nn 的奇偶有关：nn 为奇数时，sin⁡nx\sin nx 是 sin⁡x\sin x 的 nn 次整系数多项式；nn 为正偶数时，它是 cos⁡x\cos x 乘以 sin⁡x\sin x 的 n−1n-1 次整系数多项式。

由棣莫弗公式展开 (cos⁡x+isin⁡x)n(\cos x+i\sin x)^n 并取虚部，

sin⁡nx=∑j=0⌊(n−1)/2⌋(−1)j(n2j+1)cos⁡n−2j−1xsin⁡2j+1x.\sin nx=\sum_{j=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor} (-1)^j\binom n{2j+1}\cos^{n-2j-1}x\sin^{2j+1}x.

nn 为奇数时，余弦的幂全为偶数，代入 cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2x=1-\sin^2x；nn 为偶数时，先提出一个 cos⁡x\cos x 再做同样代换，即得结论。各项均为有限多项式运算，不存在除以三角函数所造成的定义域损失。

万能公式：有理化与遗漏角

令 t=tan⁡(x/2)t=\tan(x/2)，要求 x≠(2k+1)πx\ne(2k+1)\pi（k∈Zk\in\mathbb Z）。由

1+t2=1cos⁡2(x/2)1+t^2=\frac1{\cos^2(x/2)}

得

sin⁡x=2tan⁡x2cos⁡2x2=2t1+t2,\sin x=2\tan\frac x2\cos^2\frac x2=\frac{2t}{1+t^2}, cos⁡x=(1−tan⁡2x2)cos⁡2x2=1−t21+t2.\cos x=(1-\tan^2\tfrac x2)\cos^2\tfrac x2=\frac{1-t^2}{1+t^2}.

因此三条万能公式是

sin⁡x=2t1+t2,cos⁡x=1−t21+t2,tan⁡x=2t1−t2.\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad \tan x=\frac{2t}{1-t^2}.

前两式对所有实数 tt 都有意义，第三式另须 t≠±1t\ne\pm1。解题流程是：记录原定义域；单独检查 x=(2k+1)πx=(2k+1)\pi；对其余角使用换元；解出 tt 后还原 x=2arctan⁡t+2kπx=2\arctan t+2k\pi，最后代回原式。不能把换元未覆盖的角自动当作原方程无解。

例：特殊角求值与万能换元验解

由差角公式，

sin⁡15∘=sin⁡45∘cos⁡30∘−cos⁡45∘sin⁡30∘=6−24.\sin15^\circ=\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ =\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.

再解 sin⁡x=1+cos⁡x\sin x=1+\cos x。原式对所有实数 xx 有意义。先检查 x=(2k+1)πx=(2k+1)\pi：两边都为零，所以这些角是解。其余角令 t=tan⁡(x/2)t=\tan(x/2)：

2t1+t2=1+1−t21+t2=21+t2.\frac{2t}{1+t^2}=1+\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac2{1+t^2}.

因为 1+t2>01+t^2>0，等价于 t=1t=1，给出 x=π/2+2kπx=\pi/2+2k\pi。完整解集为 x=π/2+2kπx=\pi/2+2k\pi 或 x=π+2kπx=\pi+2k\pi，k∈Zk\in\mathbb Z。漏查换元例外会漏掉整支解。

例：角的范围决定求值时的符号

设 sin⁡α=3/5\sin\alpha=3/5，α∈(π/2,π)\alpha\in(\pi/2,\pi)；cos⁡β=12/13\cos\beta=12/13，β∈(0,π/2)\beta\in(0,\pi/2)。先由范围得到 cos⁡α=−4/5\cos\alpha=-4/5、sin⁡β=5/13\sin\beta=5/13，再代入

sin⁡(α+β)=351213−45513=1665,\sin(\alpha+\beta)=\frac35\frac{12}{13}-\frac45\frac5{13}=\frac{16}{65}, cos⁡(α+β)=−451213−35513=−6365.\cos(\alpha+\beta)=-\frac45\frac{12}{13}-\frac35\frac5{13}=-\frac{63}{65}.

结果一正一负，说明和角在第二象限；这也与和角的范围相容。先求符号再代公式，可以避免根式开方时漏掉负号。

例：把三角式化为有范围限制的二次式

求 F(x)=sin⁡x+cos⁡x+sin⁡2xF(x)=\sin x+\cos x+\sin2x 在 R\mathbb R 上的值域。设 t=sin⁡x+cos⁡xt=\sin x+\cos x，由辅助角公式，tt 遍历 [−2,2][-\sqrt2,\sqrt2]，并且 sin⁡2x=t2−1\sin2x=t^2-1。于是

F=t2+t−1=(t+12)2−54.F=t^2+t-1=\left(t+\frac12\right)^2-\frac54.

顶点 t=−1/2t=-1/2 在允许区间内，最小值为 −5/4-5/4；最大值比较两个端点，得 1+21+\sqrt2。因二次函数在该区间连续，值域为 [−5/4,1+2][-5/4,1+\sqrt2]。

这一步成功的关键是求出了新变量的准确范围。若原来的 xx 只取某一短区间，tt 不一定遍历整个 [−2,2][-\sqrt2,\sqrt2]，答案必须重算。

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先修：弧度、单位圆与基本三角函数。

同主题：弧度、单位圆与基本三角函数 · 三角图像、方程与辅助角。

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