直线与圆锥曲线：交点、弦与切线

联立方程先判断次数与交点个数

直线与曲线的交点必须同时满足两者方程。对非竖直直线 $y=kx+m$，代入二次曲线后收集同类项，得到 $Ax^2+Bx+C=0$。若 $A\ne0$，可用判别式 $\Delta=B^2-4AC$ 判断：$\Delta>0$ 为两个不同实交点；$\Delta=0$ 为一个重合交点；$\Delta<0$ 没有实交点。

若 $A=0$，则需重判：$B\ne0$ 时只有一次方程给出的一个交点；$B=0,C\ne0$ 时无交点；三者均为零时整条直线包含在曲线上，这只能发生于退化二次曲线。一次式产生的单个交点不能当作相切。

两个不同交点的横坐标满足韦达关系 $x_1+x_2=-B/A$、$x_1x_2=C/A$。多数弦长、中点和面积问题只需要这两个量，不需要分别解出含根式的 $x_1,x_2$。竖直直线应设 $x=c$ 并解关于 $y$ 的方程；使用参数方程也可统一处理方向。

弦长与三角形面积的计算

直线 $y=kx+m$ 上两点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 满足

第一式由 $y_1-y_2=k(x_1-x_2)$ 代入距离公式得到；竖直线直接用 $|y_1-y_2|$。若横坐标是 $ux^2+vx+w=0$ 的两根（$u\ne0,\Delta>0$），则

这是 $|x_1-x_2|^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$ 与韦达公式的组合。

弦中点由两端点坐标的平均得到；指定中点反求方向时，使用下一节的点差法。

三角形面积的四种表达与坐标式

设 $P=(x_P,y_P)$，$A=(x_1,y_1),B=(x_2,y_2)$。

1. 过 $P$ 的水平线与 $AB$ 相交于 $Q$，$L_h=|PQ|$，则 $S=\tfrac12L_h|y_1-y_2|$（$AB$ 非水平）。
2. 过 $P$ 的竖直线与 $AB$ 相交于 $Q$，$L_v=|PQ|$，则 $S=\tfrac12L_v|x_1-x_2|$（$AB$ 非竖直）。
3. $d=d(P,AB)$，则 $S=\tfrac12d|AB|$。
4. $S=\tfrac12|PA||PB|\sin\angle APB$。

统一的坐标式为

它来自两向量行列式的绝对值。证明前两式时，令 $A=Q+s\mathbf v,B=Q+t\mathbf v$，其中 $\mathbf v$ 沿 $AB$，则行列式化为 $(t-s)\det(Q-P,\mathbf v)$。$Q-P$ 水平或竖直时，分别得到所列的水平距离式或竖直距离式。面积取绝对值，不能将有向差当作无向长度。

切线的含义及曲线上点的要求

切线描述曲线在一个确定点的局部方向。在光滑二次曲线上，切向对应代入直线后在切点出现二重根的方向。直线必须真的经过曲线上的切点；“经过曲线外一点的切线”应另设未知切点，不能把外点直接当作切点代入公式。

本篇的切线表同时包括有斜率和竖直切线。一般二次式的推导见展开一次项求切向。当给定点在曲线外且能作两条不同实切线时，将外点坐标代入对称的切线表达式，所得的是两切点连线；这一区别在下表后另作说明。

相切判据与切线方程完整表

将直线与圆锥曲线联立，先看消元所得方程的次数，再看判别式。真正的二次方程 $Au^2+Bu+C=0$（$A\ne0$）由 $\Delta$ 判断两个、一个或零个实交点；降为一次时的单个交点不自动表示相切，例如平行抛物线轴的直线。

下表直线为 $Ax+By+C=0$，$A,B$ 不全为零；$r,a,b,p>0$。

双曲线遗漏 $C\ne0$ 会把渐近线算成切线；两种抛物线条件中的非零要求排除了无意义的假切线。圆的判据由点线距离得到；其余可把直线代入曲线，使真正的二次判别式为零。双曲线不要求 $a>b$。

曲线上点 $P=(x_0,y_0)$ 处切线全表为：

最后一行要求曲线非退化且 $P$ 是其光滑点。证明可由隐式求导的法向量 $(2Ax_0+D,2By_0+E)$ 写直线，再利用 $P$ 在曲线上整理；这也包括斜率不存在的竖直切线。

切点弦：若曲线外点 $P$ 确实能引出两条不同的实切线，切点为 $M,N$，则将 $P$ 坐标代入相应的切线表，所得方程就是 $MN$。以椭圆为例，$M$ 处切线经过 $P$ 意味着 $x_Mx_0/a^2+y_My_0/b^2=1$，$N$ 同理，故二者都在该直线上。双曲线、抛物线必须先检查两条有限实切线存在；“外点”不能代替这个条件。