圆锥曲线的极点、极线与有向调和关系

四类标准曲线的极线

设给定点为 $P=(u,v)$ 。下表给出相对于相应曲线的极线方程； $R,a,b,p>0$ 。

曲线	点 $P$ 的极线
$x^2+y^2=R^2$	$ux+vy=R^2$
$x^2/a^2+y^2/b^2=1$	$ux/a^2+vy/b^2=1$
$x^2/a^2-y^2/b^2=1$	$ux/a^2-vy/b^2=1$
$y^2=2px$	$vy=p(x+u)$

前三类中须排除 $P=(0,0)$ ：此时得到 $0=R^2$ 或 $0=1$ ，在通常坐标平面内没有对应直线。抛物线的该公式对所有有限点均给出直线。

曲线上的点，其极线就是该点处切线。曲线外的点，即使引不出两条实切线，也仍可能具有极线。例如圆内非中心点也有极线，只是它不再是两个实切点的连线。

一般二次方程与互反性

对于非退化圆锥曲线

Q(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F_0=0,

定义点 $P=(u,v)$ 与变动点 $X=(x,y)$ 的对称式

\mathcal B(P,X)=Aux+\frac B2(uy+vx)+Cvy+\frac D2(u+x)+\frac E2(v+y)+F_0.

若 $x,y$ 的系数不同时为零，则 $\mathcal B(P,X)=0$ 定义 $P$ 的极线。若两系数同时为零，须检查退化，不能宣称一定得到直线。这里 $\mathcal B(P,P)=Q(u,v)$ 。

由表达式的对称性 $\mathcal B(P,X)=\mathcal B(X,P)$ ，立刻得到：当两条极线均存在时， $X$ 在 $P$ 的极线上，当且仅当 $P$ 在 $X$ 的极线上。这称为极点极线的互反关系。

当 $T$ 在曲线上时，关于 $X$ 的式子还可写为 $\frac12[Q_x(T)(x-T_x)+Q_y(T)(y-T_y)]$ ，所以它是该正则点的切线方程。标准非退化圆锥曲线的有限曲线点都是正则点。

切点弦、弦端切线交点与限制

若从 $P$ 引出的两条不同实切线分别切于 $T_1,T_2$ ，则 $P$ 在 $T_i$ 的极线（即切线）上。互反性说明 $T_1,T_2$ 均在 $P$ 的极线上，所以切点弦所在直线就是 $P$ 的极线。

反过来，若过 $P$ 的割线与曲线交于不同的两点 $A,B$ ，且两处切线交于有限点 $S$ ，则 $S$ 的极线就是直线 $AB$ 。由于 $P\in AB$ ，互反性给出 $S$ 在 $P$ 的极线上。若两切线平行，就没有这种有限交点；若 $P$ 为中心，经过它的直径弦恰会出现此类情况。

圆外点 $P=(u,v)$ 满足 $u^2+v^2>R^2$ 时确有两条实切线，其切点弦方程为 $ux+vy=R^2$ 。弦中点是原点到此直线的垂足

H=\frac{R^2}{u^2+v^2}(u,v),

弦长为 $2R\sqrt{1-R^2/(u^2+v^2)}$ 。这也提供了切点弦方程的几何检验。

直线如何反求极点

相对于椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ ，直线 $\alpha x+\beta y=\gamma$ （ $\gamma\ne0$ ）的极点为

P=\left(\frac{a^2\alpha}{\gamma},\frac{b^2\beta}{\gamma}\right).

双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ 的相应公式为 $P=(a^2\alpha/\gamma,-b^2\beta/\gamma)$ 。圆可令 $a=b=R$ 使用椭圆公式。过中心的直线即 $\gamma=0$ ，不能套用除以 $\gamma$ 的表达式；它们在本篇的有限平面范围内没有对应有限极点。

对于 $y^2=2px$ ，直线 $\alpha x+\beta y=\gamma$ 若 $\alpha\ne0$ ，可与 $px-vy=-pu$ 比较，得到 $P=(-\gamma/\alpha,-p\beta/\alpha)$ 。若 $\alpha=0$ ，该水平直线没有有限极点。

例如椭圆 $x^2/4+y^2=1$ 的直线 $x+y=2$ ，其极点为 $(2,1/2)$ ，代入极线公式恰得原直线。

有向调和关系：为何不能全用长度

设 $P$ 不在非退化曲线上，一条过 $P$ 的割线与曲线交于两个不同有限点 $A,B$ 。选定非零方向向量 $d$ ，在线上以 $X=P+td$ 参数化，使 $P,A,B$ 的参数为 $0,\alpha,\beta$ ，其中 $\alpha\beta\ne0$ 。

代入曲线后得到二次式 $at^2+2bt+c=0$ ，根为 $\alpha,\beta$ ，故 $\alpha+\beta=-2b/a$ 、 $\alpha\beta=c/a$ 。另一方面，该直线上的点位于 $P$ 的极线上等价于 $c+bt=0$ 。当 $b\ne0$ 时交点 $H$ 的参数为

q=-\frac cb=\frac{2\alpha\beta}{\alpha+\beta},\qquad \frac1\alpha+\frac1\beta=\frac2q.

进一步化简可得

\frac{\alpha/\beta}{(\alpha-q)/(\beta-q)}=-1.

这就是这里使用的有向调和关系。若 $\alpha+\beta=0$ ，则 $b=0,c\ne0$ ，割线与极线没有有限交点，不能继续套用含 $q$ 的公式。

不能把参数随意换为无向长度。例如单位圆与横轴交于 $(-1,0),(1,0)$ ，取 $P=(1/2,0)$ ，其极线为 $x=2$ 。以横轴正向计， $\alpha=-3/2,\beta=1/2,q=3/2$ ，两边均为 $4/3$ ；若把三个数全取绝对值，左边成为 $8/3$ ，等式便不成立。

焦点与准线为何互相对应

对于椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ ，设 $a>b>0$ 、 $c=\sqrt{a^2-b^2}$ 。右焦点 $F=(c,0)$ 的极线是 $cx/a^2=1$ ，即 $x=a^2/c$ ，正是右准线。左焦点同理。

对于双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ ， $c=\sqrt{a^2+b^2}$ ，代入仍得右准线 $x=a^2/c$ 。对于抛物线 $y^2=2px$ ，焦点 $(p/2,0)$ 的极线为 $x=-p/2$ ，也是准线。圆的 $c=0$ ，不能用上述除以 $c$ 的表达式。

若焦点弦两端切线有有限交点 $S$ ，由互反关系知 $S$ 在对应准线上。还可验证 $FS$ 垂直于焦点弦：例如椭圆中 $S=(s,t)$ 、 $s=a^2/c$ ，其极线的法向量为 $(s/a^2,t/b^2)=(1/c,t/b^2)$ ，而

\overrightarrow{FS}=(s-c,t)=(b^2/c,t)=b^2(1/c,t/b^2).

双曲线得到相同的平行关系但倍数为 $-b^2$ ；抛物线 $S=(-p/2,t)$ ，极线法向量 $(-p,t)$ 恰等于 $\overrightarrow{FS}$ 。直线没有有限极点或切线平行的情形须排除。

一条切线不一定说明点在曲线上

圆的内点、圆上点、外点分别对应零、一、两条实切线，但不能把这套计数未经检验地移植到所有圆锥曲线。

例如 $P=(1,1)$ 不在双曲线 $x^2-y^2=1$ 上，却只有一条经过它的有限切线。设切点 $T=(u,v)$ ，切线为 $ux-vy=1$ ，经过 $P$ 要求 $u-v=1$ 。结合 $(u-v)(u+v)=1$ 得 $u+v=1$ ，故唯一切点为 $(1,0)$ ，切线为 $x=1$ 。

此时 $P$ 的极线 $x-y=1$ 仍然存在，但不能称为两不同实切点的连线。判断极线、切点数和切点弦时，应分别核实各自条件。

配极原则的应用与几何构造

本节使用前面已经证明的互反关系：一个点在另一点的极线上，当且仅当反向关系成立。以下所有构造均要求所用点、直线存在且彼此不退化。

共线点与共点极线

若不同点 $P_i$ 都在直线 $l$ 上，且 $l$ 有有限极点 $S$ ，则互反性给出 $S$ 在每个 $P_i$ 的极线上，因此这些极线共点。反过来，若若干直线共点于 $S$ ，且它们有有限极点，则这些极点共线于 $S$ 的极线。过有心曲线中心的直线没有有限极点，所以这种情形可能得到平行极线，不能强行引入有限交点。

对于椭圆内部的非中心点 $P$ ，过 $P$ 的割线两端切线的有限交点都在 $P$ 的极线上。反之，极线上任一点 $Q$ 均能作两条实切线：把椭圆伸缩成单位圆， $P$ 对应 $p$ ， $|p|<1$ ，而 $p\cdot q=1$ 推出 $|q|\ge1/|p|>1$ 。两切点连线是 $Q$ 的极线，由互反性经过 $P$ 。因此这里确实得到整条极线，而非仅得到轨迹的必要条件。

中心割线上的乘积关系

有心曲线沿一条中心割线交于参数 $\pm r$ ，取中心 $O$ 为该直线有向坐标的原点。相互配极的点 $P,Q$ 在此线上，参数为 $u,v$ ，则

uv=r^2.

例如把中心曲线写成 $\mathcal Q(X)=1$ ，方向向量为 $d$ ，有 $r^2\mathcal Q(d)=1$ ；将 $P=ud,Q=vd$ 代入极线关系，得 $uv\mathcal Q(d)=1$ ，即上述结论。这里 $\mathcal Q$ 是不含一次项的二次式，其对称替换与前面的极线定义相同。因乘积为正，两点同向，此时也可写为无向长度 $OP\cdot OQ=r^2$ 。

完全四边形构造极线

取曲线外的点 $P$ （这里“外”仅表示不在曲线上），两条过 $P$ 的割线分别交曲线于 $E,F$ 和 $G,H$ ，四点互异。令

M=EG\cap FH,\qquad N=EH\cap FG.

若各交点有限，且 $P,M,N$ 不共线，则 $MN$ 是 $P$ 的极线， $PM$ 是 $N$ 的极线， $PN$ 是 $M$ 的极线，称为自极三点形。

证明。 以 $P$ 为原点、两条割线的方向为基底，四点坐标可写成 $(a,0),(b,0),(0,c),(0,d)$ ；这里使用一般基底，只作关联与代数计算，不使用直角坐标的距离公式。 $a,b,c,d$ 均非零，且 $a\ne b,c\ne d$ 。设曲线常数项为 $w\ne0$ 。由横、纵轴截得的二次方程的根，横轴一次项系数为 $-w(a+b)/(ab)$ ，纵轴一次项系数为 $-w(c+d)/(cd)$ 。于是原点的极线为

\frac{a+b}{ab}x+\frac{c+d}{cd}y=2.

$M$ 满足 $x/a+y/c=1$ 与 $x/b+y/d=1$ ，相加即得该极线式； $N$ 满足另一配对，仍得到同式。更换三个对边交点的角色可证明另外两条极线。

对称轴上配极两点与对称割线

设 $A,B$ 为对称轴上互相配极的两个不同有限点，过 $B$ 的割线交非退化曲线于不同点 $P,Q$ ，并要求 $AP,AQ$ 都有定义。则两条直线 $AP,AQ$ 关于该轴对称。

以横轴为对称轴。有心曲线写成 $Dx^2+Ey^2=1$ ， $DE\ne0$ ，设 $A=(u,0),B=(v,0)$ ，配极条件是 $Duv=1$ 。先取非竖直割线 $y=m(x-v)$ ，且 $m\ne0$ 。交点横坐标之和与积为

s=\frac{2Em^2v}{D+Em^2},\qquad t=\frac{Em^2v^2-1}{D+Em^2}.

存在两个有限交点保证分母非零。当 $AP,AQ$ 的斜率存在时，其和的分子为

m[2t-(u+v)s+2uv]=\frac{2m(Duv-1)}{D+Em^2}=0.

故两斜率互为相反数。若其中一条竖直，代入该分子恒等式可知另一条也竖直，两条直线仍关于横轴对称。 $m=0$ 时两条连线均为横轴；原割线竖直 $x=v$ 时，两交点纵坐标互为相反数，直接得到对称。

抛物线 $y^2=2px$ （ $p>0$ ）的配极条件为 $v=-u$ 。代入 $y=m(x-v)$ 得交点横坐标和 $s=2v+2p/m^2$ 、积 $t=v^2$ ，故同一个分子中 $2t-(u+v)s+2uv=0$ 。竖直割线按上下对称直接检查，水平线不产生两个不同交点。

结论针对直线。若写成两条射线与轴的普通夹角相等，还须检查射线方向，不能把斜率相反无条件改写为任意点序下的角相等。