高中度量所需的平面几何先修

全等、相似与对应关系

采用初等几何中的基本判定：全等可由三边、两边及夹角、两角及一对应边、直角三角形的斜边与一直角边确定；相似可由两角、三边成比例、两边成比例且夹角相等确定。对应顶点顺序必须一致。

“已知两边和一个非夹角”一般不保证全等；解三角形中的两解现象正与此有关。相似比为 $k>0$ 时，对应长度之比为 $k$ 、面积比为 $k^2$ ，由面积公式 $S=ab\sin C/2$ 可验证。平行截线产生相等对应角，是识别相似的常见入口。上述基本判定作为先修定理采用，不在此从公理重建。

直角三角形的射影定理

在直角三角形 $ABC$ 中， $\angle C=90^\circ$ ， $CD\perp AB$ 。由三个直角三角形的对应角相等，得

AC^2=AD\cdot AB,\qquad BC^2=BD\cdot AB,\qquad CD^2=AD\cdot BD.

前两式相加恢复勾股定理。若 $AC=3,BC=4$ ，则 $AB=5$ ， $AD=9/5,BD=16/5,CD=12/5$ 。这里 $D$ 位于斜边内部，不能把任意三角形的高都代入这组三式。

面积比例、重心与外心

由同高或同角得到面积比

三角形面积为 $S=\tfrac12 bh$ 。因此底边在同一直线上且顶点相同的两个三角形，面积比等于底边长度比。若线段 $AC,BD$ 相交于各自内部一点 $E$ ，则

\frac{[ADE]}{[CDE]}=\frac{[ABE]}{[CBE]}=\frac{AE}{CE}.

将 $[ABD]=[ABE]+[ADE]$ 、 $[CBD]=[CBE]+[CDE]$ 相加，也得 $[ABD]/[CBD]=AE/CE$ 。这里 $[XYZ]$ 表示三角形面积；交点不在两线段内部时不能沿用上述面积相加式。

若两个三角形所选夹角相等，由 $S=\tfrac12 ab\sin\theta$ ，面积之比等于对应夹角两边乘积之比。实际上夹角互补时也成立，因为正弦相同。

重心及面积分割

三角形三条中线交于重心 $G$ ，且重心将每条中线按靠顶点一段与靠边一段为 $2:1$ 分割。其向量证明见定比分点与重心：取 $\overrightarrow{OG}=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})/3$ ，对三条中线逐一验证即可。

每条中线把原三角形分成等面积的两部分；又 $G$ 在中线上距底边的高度为顶点高度的 $1/3$ ，所以

[GAB]=[GBC]=[GCA]=\frac13[ABC].

这三个三角形分别被对应边中点分成等面积两部分，因此三条中线把原三角形分成六个面积相等的小三角形。

外心与半径

两条边的垂直平分线交于 $O$ 。由垂直平分线的等距性质， $OA=OB=OC$ ，故第三条边的垂直平分线也经过 $O$ 。这就是外接圆圆心，公共距离为外接圆半径 $R$ ，并有

R=\frac a{2\sin A}=\frac b{2\sin B}=\frac c{2\sin C},

来自正弦定理。外心可能在三角形内部、边上或外部；计算圆心角时仍须选取相应弧，不能把非有向的小角 $\angle BOC$ 无条件写成 $2A$ 。例如 $A>90^\circ$ 时 $2A>180^\circ$ ，对应的是优角。

若 $O$ 不等于 $A,B$ ，在等腰三角形 $AOB$ 中，较小圆心角为 $2C$ （ $C\le\pi/2$ ）或 $2\pi-2C$ （ $C>\pi/2$ ），故

\angle BAO=\angle ABO=\left|\frac\pi2-C\right|.

$C=\pi/2$ 时 $O$ 为 $AB$ 中点，两条射线重合，两个角均为零，可直接核验。不能省略绝对值而在钝角情形得到负的普通角。

中线与内角平分线的长度

设通常边长 $a=BC,b=CA,c=AB$ 。中线 $AM$ 满足

AM^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4},

可由向量中点平方恒等式直接得到。

若 $AD$ 为内角平分线，以 $ABD,ACD$ 的共高面积比和共角面积公式比较，得 $BD/DC=c/b$ 。于是 $BD=ac/(b+c),DC=ab/(b+c)$ 。

设 $BD=m,DC=n$ ，以 $D$ 为原点、 $BC$ 所在直线为横轴，取 $B=(-m,0),C=(n,0),A=(u,v)$ 。于是

c^2=(u+m)^2+v^2,\qquad b^2=(u-n)^2+v^2,\qquad AD^2=u^2+v^2.

前两式分别乘以 $n,m$ 后相加，一次项相消：

mb^2+nc^2=(m+n)(u^2+v^2+mn)=a(AD^2+mn).

代入 $m=ac/(b+c),n=ab/(b+c)$ ，左侧等于 $abc$ ，所以

AD^2=bc-mn=bc\left(1-\frac{a^2}{(b+c)^2}\right).

这里 $m,n$ 都是正长度；外角平分线的交点位于边的延长线上，不能直接沿用这组内部线段坐标。

内切圆与面积

内心 $I$ 到三边距离相等，记为 $r$ 。连接 $I$ 与顶点，将三角形分成三个小三角形，得到 $S=r(a+b+c)/2=rs$ ，其中 $s$ 为半周长。

同一点引出的两条切线段相等，故从 $A$ 出发的两段均为 $s-a$ 。由相应直角三角形， $r=(s-a)\tan(A/2)$ 。此外，在三角形 $BIC$ 中，两底角为 $B/2,C/2$ ，故 $\angle BIC=90^\circ+A/2$ 。

若内切圆切 $AB,AC$ 于 $F,E$ ，则 $IF\perp AB,IE\perp AC$ ，四边形 $AFIE$ 中两角为直角，故

\angle FIE=\pi-A.

又 $AE=AF$ ，三角形 $AEF$ 是顶角为 $A$ 的等腰三角形，所以

\angle AEF=\angle AFE=\frac{\pi-A}{2}.

这些式子中的点都是对应边上的切点，不能随意将 $E,F$ 改为边的延长线上的点。

圆周角、共圆判定、切线与圆幂

采用圆周角基本定理：同一条弧所对的圆心角是圆周角的两倍。这里须选对应弧；较小圆心角未必对应给定圆周角所看的弧。同弧上的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角。

四个互异点按圆周顺序为 $A,B,C,D$ 时，对角互补，因为对应的两弧合为整圆：

\angle A+\angle C=\pi,\qquad\angle B+\angle D=\pi.

反过来，凸四边形的一对对角互补可判定四点共圆。另一个判据是： $P,Q$ 在弦 $AB$ 所在直线同侧，且 $A,B,P,Q$ 互异、所论三角形非退化，若 $\angle APB=\angle AQB$ ，则四点共圆；两点在异侧时对应角应互补。这是圆周角定理的逆用，必须与点的位置同时使用。

圆心 $O$ 、半径 $R$ 的圆在切点 $T$ 处切线垂直 $OT$ 。圆外点 $P$ 引出的切线满足

PT^2=OP^2-R^2,

由直角三角形 $OPT$ 的勾股定理得到。从同一点引出的两条切线段也因此等长。弦切角等于对应弧所对圆周角，可由切线垂直半径及圆心角关系得到；选择另一侧角时应取补角。

割线与相交弦的乘积

取过 $P$ 的直线单位方向 $\mathbf u$ ，直线上点写为 $X=P+t\mathbf u$ 。将其代入圆方程 $|X-O|^2=R^2$ ，得到

t^2+2\mathbf u\cdot(P-O)t+OP^2-R^2=0.

两个交点的有向参数 $t_1,t_2$ 满足 $t_1t_2=OP^2-R^2$ ，这个量与割线方向无关，称为 $P$ 关于圆的幂。

$P$ 在圆外，且沿射线依次交圆于 $A,B$ 时，两参数同号，故 $PA\cdot PB=OP^2-R^2=PT^2$ 。
$P$ 在圆内，弦 $AB,CD$ 均经过 $P$ 时，每条弦的两参数异号，因此无向长度满足 $PA\cdot PB=PC\cdot PD=R^2-OP^2$ 。
$P$ 在圆上，幂为零，其中一个交点就是 $P$ 。

这区分了有向乘积与长度乘积，避免圆内外直接套同一个无向等式。托勒密、欧拉线、九点圆及竞赛共点体系仍不在本篇展开。