量词、否定与参数中的存在性

“所有对象都满足”与“至少有一个对象满足”决定了问题完全不同的解法。

联结词与量词的否定：四条基本规则

设 $P(x)$ 为讨论域 $D$ 上的谓词。全称量词 $\forall$ 表示每个、任意、所有；存在量词 $\exists$ 表示至少一个，不表示恰好一个。

\neg(p\land q)\iff\neg p\lor\neg q,\qquad \neg(p\lor q)\iff\neg p\land\neg q,

\neg(\forall x\in D,\ P(x))\iff\exists x\in D,\ \neg P(x),

\neg(\exists x\in D,\ P(x))\iff\forall x\in D,\ \neg P(x).

第一条说“不全成立”就是至少一项失败；第二条说“至少一项成立”失败就意味着全部失败。第三条说明全称命题的反例只需一个；第四条说明“不存在成功对象”要求所有对象均失败。

否定时讨论域不变，否定的是域内条件。例如“对每个正实数 $x$ ， $x+1/x>2$ ”的否定是“存在正实数 $x$ ， $x+1/x\le2$ ”；不能把正实数也改成非正实数。取 $x=1$ 就是反例。

有多重量词时逐层交换量词并保留顺序，例如

\neg(\forall x\in D\ \exists y\in E,\ P(x,y)) \iff\exists x\in D\ \forall y\in E,\ \neg P(x,y).

不能把 $\forall x\exists y$ 随意换成 $\exists y\forall x$ 。如果讨论域为空，全称陈述按定义为真、存在陈述为假，上述否定规则仍成立。

不等关系与唯一性的否定

对实数 $a,b$ ，否定 $a>b$ 得 $a\le b$ ，否定 $a\ge b$ 得 $a<b$ ；否定 $a=b$ 得 $a\ne b$ 。等号应放在哪一侧，由两种情形是否互斥且穷尽决定。

“恰有一个对象满足条件”包含存在性和唯一性两部分，因此它的否定包括两种可能：没有对象满足，或至少有两个不同对象满足。例如“方程恰有一个实根”的否定允许无实根，也允许有两个或更多不同实根，不能只写“有两个实根”。

多重量词中的选择依赖

在 $\forall x\in A\ \exists y\in B:P(x,y)$ 中，允许根据已经给出的 $x$ 选择 $y$ ，不同 $x$ 可以对应不同的 $y$ 。在 $\exists y\in B\ \forall x\in A:P(x,y)$ 中，必须先选定同一个 $y$ ，使它对所有 $x$ 都有效。

后一陈述能推出前一陈述：把同一个 $y$ 用于每个 $x$ 即可。反向通常不成立，下面的实数大小关系给出反例。逐层否定时保留量词次序，只交换量词类型并否定最内层条件；不能把“按 $x$ 选择”的对象擅自改成“与 $x$ 无关”的常量。

例：量词顺序

$\forall x\in\mathbb R,\exists y\in\mathbb R,y>x$ 为真，取 $y=x+1$ 即可。交换顺序得到 $\exists y\in\mathbb R,\forall x\in\mathbb R,y>x$ ，为假；对任何候选 $y$ ，取 $x=y+1$ 就产生反例。

边界

空集上的全称命题为真，存在命题为假。涉及参数使定义域变空的题目，应先确认题目是否约定定义域非空。

例：恒成立和存在

在 $x\in[0,1]$ 上， $x^2\le a$ 恒成立当且仅当 $a\ge1$ ；至少对一个 $x$ 成立当且仅当 $a\ge0$ 。区间改成 $(0,1)$ ，后一个条件改为 $a>0$ ，说明端点是否取得必须检查。

例：恒成立与存在成立的参数差异

设 $x\in[0,2]$ ，讨论 $x^2-2x+a\ge0$ 。配方为 $(x-1)^2+a-1$ ，其中 $(x-1)^2$ 的值域是 $[0,1]$ 。

若要求对所有 $x$ 成立，就要最小值 $a-1\ge0$ ，故 $a\ge1$ 。若只要求存在一个 $x$ 成立，就要最大值 $a\ge0$ ，故 $a\ge0$ 。取等时分别由 $x=1$ 和 $x=0$ 或 $2$ 实现。

严格不等式要另外检查端点：在开区间上，函数可能只有上界、下界而没有最值。例如 $x\in(0,1)$ 时，“所有 $x<a$ ”允许 $a=1$ 。不能未经检查把严格不等式机械地改成“参数严格大于最大值”。

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先修：命题、充分条件与必要条件。

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