指数与对数的运算

指数把重复乘法推广到更一般的指数；对数反过来求“应当取多少次幂”。

从整数指数到实数指数

正整数 $n$ 次幂定义为 $n$ 个相同因子的乘积：

a^n=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\text{ 个}}.

$a$ 称为底数， $n$ 称为指数。正整数指数允许任意实底数。为保持乘法规律，对 $a\ne0$ 规定

a^0=1,\qquad a^{-n}=\frac1{a^n}\quad(n\in\mathbb N_+).

零的正整数次幂为零；这里不定义 $0^0$ 和零的负次幂。

正底数的有理指数幂

设 $a>0$ ， $m\in\mathbb Z$ ， $n\in\mathbb N_+$ ，定义

a^{m/n}=(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}.

根号表示唯一的正 $n$ 次方根。这个定义不依赖分数的写法：若 $m/n=p/q$ ，则两个正数 $a^{m/n}$ 、 $a^{p/q}$ 的 $nq$ 次幂分别为 $a^{mq}$ 、 $a^{pn}$ ，两者相等；正数的 $nq$ 次幂严格递增，故两个正数相同。

无理指数怎样定义

对 $a>1$ 和任意实数 $x$ ，可定义

a^x=\sup\{a^r:r\in\mathbb Q,\ r\le x\}.

集合非空且有上界：取整数 $m\le x<n$ ，则它含 $a^m$ ，且每项不超过 $a^n$ 。这里使用实数的确界性质。这一定义在有理 $x$ 处保持原值，并且等价于用有理数指数逼近 $x$ 。对 $0<a<1$ ，定义 $a^x=(1/a)^{-x}$ ；对 $a=1$ ，定义 $1^x=1$ 。

本手册采用由实数连续性理论保证的基本性质：正底数的指数函数连续，并保持下面列出的指数运算法则。有理指数时这些法则由乘法和正根的唯一性直接证明；实指数时取有理数逼近，利用连续性传递等式。

指数运算法则与条件

设 $a,b>0$ ， $r,s\in\mathbb R$ 。则

运算	公式
同底数相乘	$a^r a^s=a^{r+s}$
同底数相除	$a^r/a^s=a^{r-s}$
幂再乘方	$(a^r)^s=a^{rs}$
积的乘方	$(ab)^r=a^r b^r$
商的乘方	$(a/b)^r=a^r/b^r$
取倒数	$a^{-r}=1/a^r$

有理指数情形的证明。 先取 $r=m/n,s=p/q$ ，用公分母 $nq$ 把同底数相乘归为同一个正根的整数次幂相乘，得到第一式。相除、倒数同理。对于积的乘方， $(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b})^n=ab$ ，正根唯一性给 $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ ，再作整数次幂。对于幂再乘方， $(a^{m/n})^{p/q}$ 与 $a^{mp/(nq)}$ 均为正数，其 $nq$ 次幂都是 $a^{mp}$ ，故相等。商法则由积法则和倒数公式得到。实指数推广采用指数定义中说明的连续性。

若所有指数都是整数，相应公式也可用于负底数，但涉及负指数或分母时底数不能为零。分数指数遇到负底数必须单独检查实数意义，不能机械地套用幂再乘方：例如

\bigl((-1)^2\bigr)^{1/2}=1\ne-1=(-1)^{2\cdot(1/2)}.

因此在一般实指数公式表中明确要求正底数。

对数：指数运算的逆问题

设 $a>0$ 且 $a\ne1$ 。对任意 $M>0$ ，存在唯一实数 $t$ 使 $a^t=M$ ，这个数称为以 $a$ 为底 $M$ 的对数，记为 $\log_aM$ 。其中 $a$ 为底数， $M$ 为真数：

a^t=M\quad\Longleftrightarrow\quad \log_aM=t.

存在唯一性来自指数函数连续、严格单调且值域为 $(0,+\infty)$ 。对数本身可以为正、负或零。由定义立即得到

\log_a1=0,\quad\log_aa=1,\quad a^{\log_aM}=M\ (M>0),\quad\log_a(a^t)=t\ (t\in\mathbb R).

常用对数记为 $\lg M=\log_{10}M$ ；自然对数记为 $\ln M=\log_eM$ ，其中 $e$ 为自然指数函数的底数。

对数函数的基本性质

$y=\log_ax$ 的定义域为 $(0,+\infty)$ ，值域为 $\mathbb R$ ，图像过 $(1,0)$ ，是 $y=a^x$ 的图像关于直线 $y=x$ 的反射。因反函数保持严格单调方向， $a>1$ 时递增， $0<a<1$ 时递减。

底数	$0<x<1$	$x=1$	$x>1$
$a>1$	$\log_ax<0$	$\log_ax=0$	$\log_ax>0$
$0<a<1$	$\log_ax>0$	$\log_ax=0$	$\log_ax<0$

比较不同底数时要固定真数。例如 $1<a<b$ ，换底公式给 $\log_bx=(\ln a/\ln b)\log_ax$ ，比例系数在 $(0,1)$ ，即图像向横轴压缩； $0<a<b<1$ 时则 $\log_ax=(\ln b/\ln a)\log_bx$ ，同样是一个 $(0,1)$ 内的比例。不能把“较平缓”直接理解为所有函数值都较小：负函数值经压缩反而变大。

对数运算法则、换底公式及证明

以下 $a>0,a\ne1$ ， $M,N,N_1,\ldots,N_k>0$ ， $r\in\mathbb R$ ， $n,k\in\mathbb N_+$ 。有

\begin{aligned} \log_a(MN)&=\log_aM+\log_aN,\\ \log_a(M/N)&=\log_aM-\log_aN,\\ \log_a(M^r)&=r\log_aM,\\ \log_a\sqrt[n]{M}&=\frac1n\log_aM,\\ \log_a(N_1\cdots N_k)&=\sum_{j=1}^{k}\log_aN_j. \end{aligned}

证明。 令 $u=\log_aM,v=\log_aN$ ，则 $M=a^u,N=a^v$ 。指数法则给 $MN=a^{u+v}$ 、 $M/N=a^{u-v}$ 、 $M^r=a^{ru}$ 。按对数定义，前三式分别成立。第四式取 $r=1/n$ ；最后一式反复使用乘积公式，或对因子个数归纳。

若另有 $b>0,b\ne1$ ，则

\log_bM=\frac{\log_aM}{\log_ab},\qquad \log_ba=\frac1{\log_ab}.

换底证明。 令 $t=\log_bM$ ，有 $M=b^t$ 。两边取以 $a$ 为底的对数，得 $\log_aM=t\log_ab$ 。由于 $b\ne1$ ，分母 $\log_ab\ne0$ ，所以可以相除。再取 $M=a$ 得倒数关系。

特别地，对 $r\ne0$ ，底数 $a^r$ 仍为正且不等于 $1$ ，故

\log_{a^r}M=\frac1r\log_aM.

这条底数幂公式要求 $r\ne0$ ，因为 $r=0$ 时底数变为 $1$ ，对数不再有定义。

例：对数方程先列条件再合并

解 $\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3$ 。原式要求 $x-1>0$ 且 $x+1>0$ ，即 $x>1$ 。在此条件下可等价合并：

\log_2(x^2-1)=3\iff x^2-1=8\iff x=\pm3.

由定义域只保留 $x=3$ 。如果一开始直接合并， $x<-1$ 时虽然 $x^2-1>0$ ，原来的两个对数却都无意义。

对数的和对应真数的积， $\log_a(M+N)$ 一般不能拆成两个对数之和。

易错点

$\log_a(x+y)$ 没有拆成两个对数的规则。 $\log_a(x^2)=2\log_a|x|$ 对 $x\ne0$ 成立；写成 $2\log_a x$ 会遗漏负数。底数小于 $1$ 时对数函数递减，解不等式需反向。

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先修：分式、根式与等价变形。

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