Scholia.
主题目录

有限状态的概率递推

拓展更新于 2026-09-29

本页目录

当下一步的概率取决于当前情况时，先把所有情况分成互不重叠的状态，再按全概率公式递推。这里使用有限个状态与初等递推，不引入矩阵或高等随机过程理论。

两状态递推的通式

记 pn=P(An)p_n=P(A_n)。设处于状态 AA 后下一步仍为 AA 的转移概率是 α\alpha，处于另一状态后下一步为 AA 的转移概率是 β\beta，其中 0≤α,β≤10\le\alpha,\beta\le1，并且各步转移规则相同。在条件事件概率为正时，这分别表示 P(An+1∣An)=αP(A_{n+1}\mid A_n)=\alpha、P(An+1∣Anc)=βP(A_{n+1}\mid A_n^c)=\beta；零概率状态的当步贡献直接记为零，不计算未定义的条件概率。按两种状态作全概率分解得

pn+1=αpn+β(1−pn)=β+(α−β)pn.p_{n+1}=\alpha p_n+\beta(1-p_n)=\beta+(\alpha-\beta)p_n.

当 1−α+β≠01-\alpha+\beta\ne0 时，令 p∗=β/(1−α+β)p_* =\beta/(1-\alpha+\beta)，得到

pn=p∗+(α−β)n−1(p1−p∗).p_n=p_*+(\alpha-\beta)^{n-1}(p_1-p_*).

α=1,β=0\alpha=1,\beta=0 时，原递推是 pn+1=pnp_{n+1}=p_n，应直接处理。注意各次事件一般不独立，不能把 p1p_1 连乘。

例：从其余密码中重新选择

有 m≥2m\ge2 种密码，每周从与上周不同的 m−1m-1 种中等概率选择；第一周使用指定密码 AA。记第 nn 周使用 AA 的概率为 pnp_n。若上周是 AA，本周概率为 00；若上周不是 AA，本周概率为 1/(m−1)1/(m-1)。所以

pn+1=1−pnm−1,pn=1m+m−1m(−1m−1)n−1.p_{n+1}=\frac{1-p_n}{m-1},\qquad p_n=\frac1m+\frac{m-1}{m}\left(-\frac1{m-1}\right)^{n-1}.

m=4m=4 时，p7=1/4+(3/4)(1/3)6=61/243p_7=1/4+(3/4)(1/3)^6=61/243。m=2m=2 时实际在两密码间交替，公式仍有效。

停止问题先写边界

甲乙共持有 33 枚硬币，每轮独立且公平地把一枚硬币从输者转给赢者，一方清零即停止。令 uiu_i 表示甲当前有 ii 枚时最终获得全部硬币的概率。边界为 u0=0,u3=1u_0=0,u_3=1，内部有

u1=12u0+12u2,u2=12u1+12u3.u_1=\frac12u_0+\frac12u_2,\qquad u_2=\frac12u_1+\frac12u_3.

解得 u1=1/3,u2=2/3u_1=1/3,u_2=2/3。方程只按下一步分类。

停止确实以概率 11 发生：每两轮内连续朝某一方转移就足以停止，因此条件停止概率至少 1/41/4，继续 2k2k 轮的概率至多 (3/4)k(3/4)^k，趋于零。若游戏允许平局，必须说明平局是否耗时以及是否改变状态；不能直接把原游戏当成上述无平局模型。

极值分布：先求不超过某值的概率

独立掷两枚公平六面骰，令 XX 为点数的最大值。对 k=1,…,6k=1,\ldots,6，

P(X≤k)=(k6)2,P(X=k)=k2−(k−1)236=2k−136.P(X\le k)=\left(\frac k6\right)^2,\qquad P(X=k)=\frac{k^2-(k-1)^2}{36}=\frac{2k-1}{36}.

于是

EX=136∑k=16k(2k−1)=16136.EX=\frac1{36}\sum_{k=1}^6 k(2k-1)=\frac{161}{36}.

对 rr 次独立公平骰子试验，最大点数的分布同理由 (k/6)r−((k−1)/6)r(k/6)^r-((k-1)/6)^r 得到。这里“独立”和“公平”分别用于概率相乘与单次均匀分布。

每天均匀不代表两天独立

单独知道每天的某个时长均匀分布，不能唯一确定两天之和的分布。若 XX 在 [0,1][0,1] 均匀分布，令 Y=XY=X 或令 Y=1−XY=1-X，则 YY 也都均匀分布；但前者的和为 2X2X，后者的和恒为 11。

因此把连续两天的时长画成矩形内的均匀点，必须额外给出两天相互独立。原一试 V2 若干睡眠、晚点题只写每天均匀，手册将独立性列为模型所需条件，而不把它当成自动成立。

关联阅读

主题目录 · 全站目录