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圆锥曲线切线的角平分性质

拓展更新于 2026-09-29

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焦点距离条件还能解释切线方向。以下用高中向量和标准切线公式推导；“光学性质”指理想反射时入射角与反射角相等的几何模型。

两个单位方向的和与差

设 u,v\mathbf u,\mathbf v 为不相同也不相反的单位向量。则 u+v\mathbf u+\mathbf v 平分二者的内角，u−v\mathbf u-\mathbf v 平分外角，且两者垂直。

确实，(u+v)⋅u=(u+v)⋅v=1+u⋅v(\mathbf u+\mathbf v)\cdot\mathbf u=(\mathbf u+\mathbf v)\cdot\mathbf v=1+\mathbf u\cdot\mathbf v，故夹角余弦相等；两个单位向量构成的菱形对角线在内角内部，因此是内角平分线。差向量相当于对 u,−v\mathbf u,-\mathbf v 用同一结论，且 (u+v)⋅(u−v)=0(\mathbf u+\mathbf v)\cdot(\mathbf u-\mathbf v)=0。

重合或相反时某个和差向量为零，不能把它当作直线方向。圆锥曲线的顶点情形应另用标准切线判断。

椭圆：法线平分两条焦点射线的内角

设椭圆 x2/a2+y2/b2=1x^2/a^2+y^2/b^2=1，a>b>0,c2=a2−b2a>b>0,c^2=a^2-b^2，焦点 F−=(−c,0),F+=(c,0)F_-=(-c,0),F_+=(c,0)。取非顶点 P=(x,y)P=(x,y)，记 r−=PF−=a+cx/a,r+=PF+=a−cx/ar_-=PF_-=a+cx/a,r_+=PF_+=a-cx/a，并令

u=(x+c,y)r−,v=(x−c,y)r+.\mathbf u=\frac{(x+c,y)}{r_-},\qquad \mathbf v=\frac{(x-c,y)}{r_+}.

它们是从两焦点指向 PP 的单位向量。利用 r−+r+=2ar_-+r_+=2a 直接通分得

u+v=2ab2r−r+(xa2,yb2).\mathbf u+\mathbf v=\frac{2ab^2}{r_-r_+}\left(\frac{x}{a^2},\frac{y}{b^2}\right).

括号内是切线 xX/a2+yY/b2=1xX/a^2+yY/b^2=1 的法向量，所以法线平分两焦点方向的内角，切线平分外角。将两个方向同时反向，不改变角平分直线，故也可表述为射线 PF−,PF+PF_-,PF_+ 的结论。

因此从一焦点射向椭圆的光线，经切线按等角反射后沿另一焦点方向前进。长轴顶点两焦点射线重合，切线垂直长轴，直接验证同样的反射结论。

双曲线：切线平分两条焦点射线的内角

设双曲线 x2/a2−y2/b2=1x^2/a^2-y^2/b^2=1，c2=a2+b2c^2=a^2+b^2，先取右支非顶点 P=(x,y)P=(x,y)。此时 r−=cx/a+a,r+=cx/a−ar_-=cx/a+a,r_+=cx/a-a，沿用两焦点到 PP 的单位向量 u,v\mathbf u,\mathbf v。直接计算得

u−v=2ab2r−r+(xa2,−yb2).\mathbf u-\mathbf v=\frac{2ab^2}{r_-r_+}\left(\frac{x}{a^2},-\frac{y}{b^2}\right).

这与切线法向量平行，所以法线是外角平分线，切线是内角平分线。左支由关于纵轴的对称得到相同结论。

反射后的光线或其反向延长线经过另一焦点，具体哪条射线须结合所在支与入射方向判断；不能把椭圆的“两焦点间反射”原话无条件套用。顶点处两焦点射线相反，单独用顶点切线验证。

抛物线：焦点方向与轴方向

设抛物线 y2=2pxy^2=2px，p>0p>0，焦点 F=(p/2,0)F=(p/2,0)。对点 P=(x,y)P=(x,y)，有 r=PF=x+p/2r=PF=x+p/2。令 u=(x−p/2,y)/r\mathbf u=(x-p/2,y)/r 是从焦点到 PP 的单位向量，令 e=(1,0)\mathbf e=(1,0)，则

u−e=1r(−p,y).\mathbf u-\mathbf e=\frac1r(-p,y).

而切线为 yY=p(X+x)yY=p(X+x)，法向量正是 (−p,y)(-p,y)。因此非顶点处切线平分 u,e\mathbf u,\mathbf e 的内角，法线平分外角。由角平分关系，平行于轴、朝向抛物线凹面入射的光线反射后经过焦点；反过来，从焦点射出的光线反射后沿正轴向平行射出。

在顶点 (0,0)(0,0)，切线为纵轴，直接检查轴上光线即可。

焦点、准线与切线的进一步关系

以下曲线均非退化，SS 是指定焦点，ll 是其配对准线，离心率为 ee；所有交点、垂足须实际存在。法线指垂直切线的直线。

弦与准线交点的角平分性质

弦所在直线与准线交于 KK，端点为 P,P′P,P'。作到准线的垂线，用相似三角形得

SPSP′=d(P,l)d(P′,l)=KPKP′.\frac{SP}{SP'}=\frac{d(P,l)}{d(P',l)}=\frac{KP}{KP'}.

因此 SKSK 是 ∠PSP′\angle PSP' 的内或外角平分线所在直线：KK 在线段 PP′PP' 内时为内角平分线，在其外时为外角平分线。椭圆、抛物线的两点在准线同侧，所以通常为外角；双曲线须分同侧与异侧，不能笼统地说永远为内角。焦点与弦共线等退化情况另论。

切线与准线

PP 处切线交 ll 于有限点 ZZ 时，SP⊥SZSP\perp SZ；一条非退化焦点弦两端的切线若有有限交点，该交点在 ll 上。

给出同时涵盖三类曲线的证明：取 S=(0,0),l:x=−dS=(0,0),l:x=-d，d>0d>0，曲线为

x2+y2=e2(x+d)2.x^2+y^2=e^2(x+d)^2.

其在 P=(x0,y0)P=(x_0,y_0) 的切线为

xx0+yy0=e2(x+d)(x0+d).(∗)xx_0+yy_0=e^2(x+d)(x_0+d).\qquad(*)

令 x=−dx=-d，得 P⋅Z=0P\cdot Z=0。若 P,P′P,P' 与 SS 共线，两切线相交于 ZZ，由 (∗)(*) 分别除以沿该直线的有向参数，因参数不同可得 xZ=−dx_Z=-d，故交点在准线上。切线与准线平行、焦轴端点切线平行等情形，不存在所说有限交点。

法线与焦轴

对非轴上点 PP，法线与焦轴交于 GG，则三类曲线统一满足 SG=e SPSG=e\,SP；抛物线 e=1e=1，若切线交轴于 TT，还有 ST=SP=SGST=SP=SG。在上述坐标下，法向量为 (x0−e2(x0+d),y0)(x_0-e^2(x_0+d),y_0)；法线上令纵坐标为零得到 G=(e2(x0+d),0)G=(e^2(x_0+d),0)，所以 SG=e2∣x0+d∣=e SPSG=e^2|x_0+d|=e\,SP。抛物线由曲线式得 x02+y02=(x0+d)2x_0^2+y_0^2=(x_0+d)^2，在 (∗)(*) 令 y=0,e=1y=0,e=1 得 xT=−(x0+d)x_T=-(x_0+d)，故 ST=SPST=SP。轴上顶点法线与轴重合，GG 不唯一，须排除。

亚当斯性质

OO 为 PP 处切线上的任意点，II 为它到准线的垂足，UU 为它到直线 SPSP 的垂足，则

SU=e OI.SU=e\,OI.

证明：SU=∣O⋅P∣/∣P∣SU=|O\cdot P|/|P|，由 (∗)(*)，∣O⋅P∣=e2∣xO+d∣∣x0+d∣|O\cdot P|=e^2|x_O+d||x_0+d|，且 ∣P∣=e∣x0+d∣|P|=e|x_0+d|，约去得到 SU=e∣xO+d∣=e OISU=e|x_O+d|=e\,OI。这用无向长度，故垂足在焦半径反向延长线上也成立。

若 OO 能作两条不同实切线 OQ,OQ′OQ,OQ'，分别应用上述性质，得到 SS 到两条焦半径上的投影长度相等；所以直线 SOSO 是两焦半径直线的一个角平分线（内外角须按点的位置判断）。这里的投影长度取绝对值，只能确定角平分直线；具体射线仍需依据点的位置判断。

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