函数、定义域与值域

映射、单射、满射、双射与函数

映射 $f:A\to B$ 要为每个 $x\in A$ 指定唯一的 $f(x)\in B$。允许两个不同输入得到同一输出，也允许 $B$ 中有元素没有原像。$A$ 是定义域，$B$ 是陪域，实际像集为 $f(A)=\{f(x):x\in A\}\subseteq B$。

例如 $f(x)=2x-1$ 从整数集到奇数集是双射：相等输出推出相等输入；对奇数 $y$，$x=(y+1)/2$ 是整数原像。

双射存在唯一逆映射 $f^{-1}:B\to A$，满足两条恒等关系

因为每个 $y$ 的原像存在且唯一，逆映射才有定义。仅知某个 $g$ 满足 $g\circ f=\operatorname{id}_A$，一般只保证 $f$ 是单射，不能在未证明满射时就称 $g$ 为其双侧逆。

高中实函数是非空实数集之间的映射。定义域、对应法则决定实际输入输出，值域为 $f(A)$；若把函数视为带陪域的映射，陪域也须一并说明，因为满射与否依赖它。图像是点集 $\{(x,f(x)):x\in A\}$，不是只含输出值的集合。函数常用列表法、解析式法和图像法表示；列表必须说明它是否穷尽全部输入，图像中的空心端点、断点也决定哪些输入与输出被包含。

对有限集，双射推出 $|A|=|B|$；反之，元素数相同只保证存在某个双射，不保证指定的 $f$ 就是双射。不同函数可以有相同定义域和值域。

自然定义域的限制要同时成立

一个解析式由多种运算组成时，每一步都必须有意义，最终定义域是各项限制的交集。

一般实指数幂 $a^x$ 取 $a>0$；其中 $a=1$ 的表达式仍有意义，只是通常定义“指数函数”时排除常函数 $1^x$。不能把函数类别的定义限制误当成每个表达式都有的运算限制。

例如 $f(x)=\sqrt{x+2}/\log_2(x-1)$ 要同时满足 $x\ge-2$、$x>1$、$x\ne2$，故定义域为 $(1,2)\cup(2,+\infty)$。

值域与解析式的求法

值域是全部能实际取得的函数值组成的集合。证明 $f(x)\in J$ 只给出值域包含于 $J$；要断言值域恰为 $J$，还须证明每个 $y\in J$ 都有合法原像。

常用方法及其适用条件如下：

• 直接观察或配方： 二次式可写成平方加常数；随后检查顶点是否属于原定义域。
• 换元： 令 $t=g(x)$ 后，先求 $t$ 的实际范围，再研究外层函数。未经证明不能把 $t$ 当作任意实数。
• 单调性： 在各单调区间求像集，并检查端点是否取到；定义域不连通时分别求像后取并。
• 反解法： 由 $y=f(x)$ 解出 $x$，要求所得 $x$ 实数且属于原定义域。若变成二次方程，判别式非负之外，仍须检查分母、符号和输入范围。
• 连续性： 在连续区间中，结合已确定的最大最小值或边界极限，证明中间值都可取得；不连续函数不能直接作此推断。

由点值关系求解析式时，可用换元、配凑、待定系数或联立方程。所得结论只能覆盖条件实际涉及的输入：例如知道 $f(x^2)$ 对所有实数 $x$ 的表达式，只能确定 $f$ 在 $[0,+\infty)$ 上的值，不能自动确定负数输入。