因式分解的基本方法与待定系数

分解对象、系数范围与完成标准

因式分解是把多项式写成因子的乘积。一元、多元都可以讨论，但必须先说明允许哪些系数。完全因式分解要求每个正次数因子在指定范围内都不能再分为两个正次数因子，允许把非零常数提出。

例如 $x^6-1=(x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$ 虽然正确，却还未完成分解。继续使用幂差和立方和公式，得到

x^6-1=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1).

两个二次因子的判别式均为 $-3$ ，所以这已是实系数范围的完全分解；在复数范围仍可继续分成一次因子。一个分解是否结束，不能只看它是否已经写成乘积。

提公因式、分组与公式识别

先检查各项的共同因子，再按能够产生相同因式的项分组。例如

x^3+2x^2-x-2=x^2(x+2)-(x+2)=(x+2)(x-1)(x+1).

幂差和奇次幂和的完整公式为

x^n-y^n=(x-y)\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}y^k\quad(n\ge1),

x^n+y^n=(x+y)\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^kx^{n-1-k}y^k\quad(n\ge1\text{ 为奇数}).

括号内每项总次数都是 $n-1$ 。第一式由逐项相消证明，第二式把第一式的 $y$ 换成 $-y$ ；证明细节和平方、立方、三元立方公式见基础恒等式表。

用公式分解后还要检查剩余因子，不应把“公式已套用”当成“分解已完成”。幂差公式作为多项式恒等式允许 $x=y$ ，但若写成除以 $x-y$ 的分式，则须先排除 $x=y$ 。

十字相乘就是系数匹配

对 $ax^2+bx+c$ （ $a\ne0$ ），设

ax^2+bx+c=(ux+v)(wx+t).

展开比较系数，必须同时满足 $uw=a,ut+vw=b,vt=c$ 。所谓十字相乘，是在首尾乘积匹配后，用交叉乘积之和检查中间系数。

例如 $6x^2+7x+2$ ：取 $(u,w)=(3,2)$ 、 $(v,t)=(2,1)$ ，交叉和为 $3\cdot1+2\cdot2=7$ ，所以

6x^2+7x+2=(3x+2)(2x+1).

没有找到整数配对，不等于实数范围不能分解。实二次式能分成两个实一次因子，当且仅当判别式 $b^2-4ac\ge0$ ；等号时两个因子成比例。若有实根 $r_1,r_2$ ，分解就是 $a(x-r_1)(x-r_2)$ 。只核对首尾项会漏掉中间系数约束。

添减同一项，把高次式配成平方差

若有两个平方项却缺交叉项，可添减同一项，尝试构成完全平方。例如

x^4+4y^4=(x^2+2y^2)^2-(2xy)^2 =(x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2).

另一种情况是已有 $x^4$ 和常数项：

x^4-7x^2+1=(x^2+1)^2-(3x)^2 =(x^2-3x+1)(x^2+3x+1).

第二式的两个二次因子在实数范围还可继续分解，因为判别式均为 $5$ ；在有理数范围已不能继续。这同时说明配方解决“如何拆开”，系数范围决定“何时结束”。

多元二次式与四次式的待定系数

对二元二次式

F(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F_0,

若希望分成两个实一次式，可设 $F=(ux+vy+w)(sx+ty+r)$ 。比较六种单项式，得到

us=A,\quad ut+vs=B,\quad vt=C,\quad ur+ws=D,\quad vr+wt=E,\quad wr=F_0.

求出满足全部关系且两因子均非常数的系数组，才能确认分解存在。反过来，若这些关系成立，展开即验证分解，不需要额外猜测。例如 $(x+y+1)(x-y+2)=x^2-y^2+3x+y+2$ 。

对于首一四次式，可设

x^4+Ax^3+Bx^2+Cx+D=(x^2+ux+v)(x^2+sx+t),

于是 $u+s=A,\ v+t+us=B,\ ut+vs=C,\ vt=D$ 。有明显的对称性时，这比逐个试一次根更有效。高次式没有有理根，不代表它在有理系数范围不可分解，例如 $x^4+3x^2+2=(x^2+1)(x^2+2)$ 。

找到根以后降次，再检查剩余因子

因式定理把根转为一次因子：若 $P(a)=0$ ，除以 $x-a$ 得到低一次的多项式，再对商继续分解。对整系数式可先用有理根定理缩小候选范围。

例如 $P(x)=x^3+5x+6$ 有根 $-1$ ，除得

P(x)=(x+1)(x^2-x+6).

二次因子的判别式为 $-23$ ，故这已经是实系数范围的完全分解。原式只有一个实根；复数范围还有另外两个根。试根失败时，应转而检查分组、配方或二次因子，不应无止境试整数。

多元恒等式的后续阅读

多元因式分解常与其他主题结合。三元立方和及三元基本对称式分别见代数恒等式和基本对称式与幂和。平方和乘积与拉格朗日恒等式见柯西不等式，二项展开及系数递推见二项式定理。

三角形面积中的因式分解

2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4 =(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)

对任意实数 $a,b,c$ 都是恒等式：先写成 $4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2$ ，用平方差得到 $((a+b)^2-c^2)(c^2-(a-b)^2)$ ，再各作一次平方差即可。把它解释为面积平方则必须要求 $a,b,c$ 是非退化三角形的边，见海伦公式。代数恒等式的变量范围与几何应用的范围不能混同。