绝对值的几何意义

$|a|$的几何意义：在数轴上，表示这个数的点与原点的距离。$|a-b|$的几何意义：在数轴上，表示数$a,b$对应数轴上两点间的距离。 在数轴上固定两个点$A,B$，它们表示的数分别是$a,b$，其中$a<b$。另一个点$P$可以在数轴上移动，它表示的数是$x$。于是，$P$到$A$的距离是$PA=|x-a|$，到$B$的距离是$PB=|x-b|$，而$A,B$之间的距离是$AB=b-a$。

距离和问题

两个固定点

求$|x-a|+|x-b|$，就是求$PA+PB$。可以想成从$A$出发，经过$P$，再到$B$： (1)当$P$在$A,B$之间（包括端点）时，没有绕路，$PA+PB=AB$； (2)当$P$在$A,B$的外侧时，要多走一段路，$PA+PB>AB$。 所以，距离和的最小值就是$A,B$之间的距离： 只有当$a\leq x\leq b$时取到这个最小值。下面的图展示了$P$的两种位置：

多个固定点

先把这些点从左到右排列，再把最左边与最右边的点配成一对，接着把剩下的最左边与最右边的点配成一对，依次进行。要让每一对的距离和都最小，$P$就要放在这些点的中间位置。 (1)点的个数是奇数：$P$放在正中间的那个点上，距离总和最小； (2)点的个数是偶数：$P$放在中间两个点之间的任何位置（包括端点），距离总和都最小。 例如，到$1,3,7$三个数对应的点的距离总和，在$x=3$时最小；到$1,3,7,9$四个数对应的点的距离总和，在$3\leq x\leq7$时最小。

距离差问题

两个固定点：求$|x-a|-|x-b|$，就是求$PA-PB$。注意减法的顺序：先算到$A$的距离，再减去到$B$的距离。 (1)当$P$在$A$的左边（包括$A$）时，$PB$比$PA$多一个$AB$，所以$PA-PB=-AB=a-b$； (2)当$P$在$A,B$之间时，$P$向右移动，$PA$变大，$PB$变小，因此$PA-PB$逐渐变大； (3)当$P$在$B$的右边（包括$B$）时，$PA$比$PB$多一个$AB$，所以$PA-PB=AB=b-a$。 下面的三条数轴分别对应上面的三种情况： 所以，距离差最小是$-AB$，最大是$AB$，即 距离差的绝对值：如果题目问“两段距离相差多少”，只看较长的一段比较短的一段长多少，应写成$\bigl||x-a|-|x-b|\bigr|$。 (1)它最大是$AB=b-a$，在$P$位于线段$AB$外侧或端点时取得，即$x\leq a$或$x\geq b$； (2)它最小是$0$，这时$PA=PB$，$P$恰好在线段$AB$的中点，即$x=\dfrac{a+b}{2}$。