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内心：角平分线与内切圆

第 50 章06几何进阶

50-内心
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设 a=BC,b=CA,c=ABa=BC,b=CA,c=AB，s=12(a+b+c)s=\frac12(a+b+c)。将 II 与三个顶点相连，三个小三角形的高均为 rr，所以
S=12(a+b+c)r=sr.\boxed{S=\frac12(a+b+c)r=sr}.
由切线长定理，
AY=AZ=s−a,AY=AZ=s-a,
BX=BZ=s−b,CX=CY=s−c.BX=BZ=s-b,\quad CX=CY=s-c.

面积与周长同步分割

过内心的直线交三角形边界于 M,NM,N。两侧区域的面积，分别等于 r2\frac r2 乘以其对应的原三角形边界折线长。因此两侧面积之比等于这两段边界长度之比；公共线段 MNMN 不计入这两段长度。