韦达定理与两根的对称式

记

s=x_1+x_2

、

p=x_1x_2

，常见表达式为

\begin{aligned} x_1^2+x_2^2&=s^2-2p,\\ x_1^3+x_2^3&=s^3-3sp,\\ (x_1-x_2)^2&=s^2-4p,\\ \frac1{x_1}+\frac1{x_2}&=\frac{s}{p}\quad(p\ne0),\\ \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}&=\frac{s^2-2p}{p}\quad(p\ne0). \end{aligned}

e.g.　

x^2+3x+1=0

的两根满足

s=-3,p=1

，所以

x_1^2+x_2^2=7,\qquad \frac1{1+x_1}+\frac1{1+x_2}=\frac{2+s}{1+s+p}=1.

这里

(1+x_1)(1+x_2)=1+s+p=-1\ne0

，原分式有意义。