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分组分解与添拆项

第 6 章01代数入门

分组：让各组出现公共结构

先适当分组，各组分别提公因式或套公式，再把各组看作整体。例如
ac+bc+a+b=(a+b)c+(a+b)=(a+b)(c+1),x2−6x−y2+9=(x−3)2−y2=(x−3+y)(x−3−y). \begin{aligned} ac+bc+a+b&=(a+b)c+(a+b)=(a+b)(c+1),\\ x^2-6x-y^2+9&=(x-3)^2-y^2\\ &=(x-3+y)(x-3-y). \end{aligned}

拆项：把一项拆成几项

拆开某一项，使分组后能出现相同因式。例如，把 2x2x 拆成 x+xx+x：
x2+2x+1=x2+x+x+1=x(x+1)+(x+1)=(x+1)2. \begin{aligned} x^2+2x+1&=x^2+x+x+1\\ &=x(x+1)+(x+1)=(x+1)^2. \end{aligned}

添项：加上再减去同一个式子

通过添项，凑出完全平方、平方差等熟悉的结构。例如
x4+x2+1=(x4+2x2+1)−x2=(x2+1)2−x2=(x2+x+1)(x2−x+1). \begin{aligned} x^4+x^2+1&=(x^4+2x^2+1)-x^2\\ &=(x^2+1)^2-x^2\\ &=(x^2+x+1)(x^2-x+1). \end{aligned}