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低次多项式的因式分解方法

第 8 章01代数入门

先按一元多项式的次数回顾常用方法。多元式选定主元后，也可沿用这些思路。本章通常在整数或有理数系数范围内讨论因式分解。

一次：提取公因式

观察各项的公共因式，先提尽公因式，再整理括号内的式子。例如
6x+9=3(2x+3),ax+ay=a(x+y). 6x+9=3(2x+3),\qquad ax+ay=a(x+y).
后一式关于 xx 是一次式，a,ya,y 暂看作系数中的字母。

二次：十字相乘法

把二次项系数、常数项分别拆成两数之积，再检验交叉乘积之和：
Ax2+Bx+C=(ux+v)(wx+t), Ax^2+Bx+C=(ux+v)(wx+t),
其中 uw=Auw=A、vt=Cvt=C、ut+vw=But+vw=B。例如
2x2+5x+2=(2x+1)(x+2). 2x^2+5x+2=(2x+1)(x+2).

三次：试根与因式定理

先试出一个根 rr，由 f(r)=0f(r)=0 得到因式 x−rx-r；再用多项式除法降为二次，继续分解。例如
f(x)=x3−2x2−x+2,f(1)=0,f(x)=(x−1)(x2−x−2)=(x−1)(x−2)(x+1). \begin{aligned} f(x)&=x^3-2x^2-x+2,\qquad f(1)=0,\\ f(x)&=(x-1)(x^2-x-2)=(x-1)(x-2)(x+1). \end{aligned}
整系数多项式的整数根若存在，必为常数项的因数；试根时可先从这些数入手。

四次：待定系数法

先检查一次因式；若没有，可尝试分解为两个二次因式。首一四次式可设为
x4+Ax3+Bx2+Cx+D=(x2+ux+v)(x2+sx+t), x^4+Ax^3+Bx^2+Cx+D=(x^2+ux+v)(x^2+sx+t),
展开后比较同次项系数，求出 u,v,s,tu,v,s,t。例如
x4+x2+1=(x2+x+1)(x2−x+1). x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1).