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全部初中知识

数与代数式

01 · 有理数

有理数的概念及分类数轴相反数, 倒数与负倒数有理数的运算绝对值

02 · 绝对值

绝对值的性质零点分段法绝对值的几何意义

03 · 代数式

代数式的基本概念整式的运算大除法

04 · 乘法公式（一）

基本公式三次公式三元平方公式欧拉公式

05 · 乘法公式（二）

配方法高次乘方公式与杨辉三角对称式与 p、q、r 方法代数思想：消元与降次多项求和

06 · 因式分解的基本方法

因式分解的概念提取公因式公式法分组分解与添拆项十字相乘法双十字相乘法

07 · 因式分解的进阶方法

猜根法与因式定理待定系数法换元法

08 · 轮换式的因式分解

低次多项式的因式分解方法主元法轮换对称式

09 · 分式（一）

分式的概念与运算常见题型

10 · 分式（二）

分离常数取倒数转化凑出共同分子借条件分解分母

11 · 实数

实数与方根根式的运算与化简大小比较与估算有理数与无理数的运算性质

12 · 二次根式

二次根式的概念与化简分母有理化双重二次根式根式换元与整体求值

13 · 代数式的综合问题

换元：把重复结构看成整体用条件消元与降次相减、相乘与因式分解

方程与不等式

14 · 一次方程

方程与等式的基本性质一元一次方程的解法一次方程组与消元含参数的一次方程含绝对值的方程

15 · 一次不等式

不等式的性质与解集不等式组与含参数不等式含绝对值的不等式方程与不等式配合

16 · 一元二次方程的解法

一元二次方程与基本解法求根公式与判别式用因式分解与配方解二次不等式

17 · 韦达定理

韦达定理与两根的对称式根的符号与利用方程降次反向韦达与关联方程

18 · 特殊方程

高次整式方程分式方程与增根根式方程与验根方程组中的对称结构

19 · 整数根问题

整数条件与因子枚举二次方程的整数根

20 · 方程的综合问题

公共根与公共因式方程组：消元、降次与构造

函数

42 · 坐标系与函数的概念

平面直角坐标系点的变换、距离与面积函数的概念与图象

43 · 一次函数

一次函数的图象与性质确定解析式与直线的位置关系图象变换与数形结合

44 · 反比例函数

反比例函数的概念、图象与性质比例系数与面积不变性交点与不等式的数形结合

45 · 二次函数的概念与性质

二次函数与抛物线三种表达式与待定系数法从图象读取代数信息

46 · 二次函数的最值与变换

二次函数在区间上的最值含参数的最值与恒成立平移与对称变换含绝对值的图象变换

47 · 二次函数中的数形结合

二次函数、方程与不等式根与一个数的位置关系根在区间中的分布

48 · 二次函数中的代几综合

从几何条件到坐标关系坐标中的面积与最值交点、相切与图象间的距离

平面几何

21 · 平行线

基础概念基础性质几何公理直线间角度与比例

22 · 三角形

三角形的概念与分类三角形的边角关系三角形中的特殊线常见模型

23 · 全等三角形

全等三角形的定义及性质全等三角形的常用判定方法

24 · 常用辅助线（一）

全等的证明逻辑辅助线初步角平分线垂直平分线的性质与判定倍长中线

25 · 常用辅助线（二）

旋转全等弦图全等三垂直全等

26 · 常用辅助线（三）

截长补短角度证明中的截长补短

27 · 特殊三角形

等腰三角形直角三角形三角形的面积斜边中线含特殊角的三角形

28 · 四边形

凸四边形平行四边形矩形与菱形正方形与中点四边形梯形

29 · 相似三角形

相似的概念、性质与判定平行线中的相似平行线分线段成比例面积中的比例比例变形与成比例线段黄金分割

30 · 相似模型（一）

线束模型三角形中的内接正方形射影定理角平分线定理角平分线的进一步关系三平行模型

31 · 相似模型（二）

三垂直与一线三等角共角模型与反平行旋转相似

32 · 几何变换之平移

平移的概念与性质平移的常见用法等积变换

33 · 几何变换之对称

轴对称：保持距离，改变方向将军饮马与折线最短两条边上的动点：连续作对称

34 · 几何变换之旋转

旋转与半角模型等腰直角三角形中的半角三边模型：旋转后集中长度

35 · 圆

圆的基本概念垂径定理与弦心距圆周角定理正多边形与圆

36 · 直线与圆

点、直线与圆的位置关系切线的性质与判定切线长与内切圆弦切角定理圆幂定理的三种构型确定圆与三角形的外接圆

37 · 圆与圆

两圆的位置关系连心线与公共弦两圆相切与相似相交圆中的公共弦两圆的公切线

38 · 四点共圆（一）

四点共圆的基本判定利用角度判定与转移角

39 · 四点共圆（二）

用线段乘积判定共圆切割线的逆用多圆共点：先取交点，再证在圆上

40 · 梅涅劳斯定理与塞瓦定理

梅涅劳斯定理：三点共线塞瓦定理：三线共点共线与共点的转化

41 · 托勒密定理与西姆松定理

托勒密定理及其推广西姆松定理：三个垂足共线

49 · 三角形的外心与垂心

外心：从半径联系边与角垂心：高线与垂足三角形垂心的距离关系与共圆模型

50 · 三角形的重心与内心

重心：中线、面积与距离中线的长度关系内心：角平分线与内切圆旁心：外角平分线的交点

51 · 三角形的五心综合

外心与内心：弧中点模型外心、重心与垂心：欧拉线两个基本三角形特殊角与五心的综合关系

52 · 三角函数的概念与性质

锐角三角函数函数关系与解直角三角形任意角与单位圆诱导关系与三角形面积正弦定理与余弦定理

初中数学/二次函数中的数形结合

主题目录

全部初中知识

数与代数式

01 · 有理数

有理数的概念及分类数轴相反数, 倒数与负倒数有理数的运算绝对值

02 · 绝对值

绝对值的性质零点分段法绝对值的几何意义

03 · 代数式

代数式的基本概念整式的运算大除法

04 · 乘法公式（一）

基本公式三次公式三元平方公式欧拉公式

05 · 乘法公式（二）

配方法高次乘方公式与杨辉三角对称式与 p、q、r 方法代数思想：消元与降次多项求和

06 · 因式分解的基本方法

因式分解的概念提取公因式公式法分组分解与添拆项十字相乘法双十字相乘法

07 · 因式分解的进阶方法

猜根法与因式定理待定系数法换元法

08 · 轮换式的因式分解

低次多项式的因式分解方法主元法轮换对称式

09 · 分式（一）

分式的概念与运算常见题型

10 · 分式（二）

分离常数取倒数转化凑出共同分子借条件分解分母

11 · 实数

实数与方根根式的运算与化简大小比较与估算有理数与无理数的运算性质

12 · 二次根式

二次根式的概念与化简分母有理化双重二次根式根式换元与整体求值

13 · 代数式的综合问题

换元：把重复结构看成整体用条件消元与降次相减、相乘与因式分解

方程与不等式

14 · 一次方程

方程与等式的基本性质一元一次方程的解法一次方程组与消元含参数的一次方程含绝对值的方程

15 · 一次不等式

不等式的性质与解集不等式组与含参数不等式含绝对值的不等式方程与不等式配合

16 · 一元二次方程的解法

一元二次方程与基本解法求根公式与判别式用因式分解与配方解二次不等式

17 · 韦达定理

韦达定理与两根的对称式根的符号与利用方程降次反向韦达与关联方程

18 · 特殊方程

高次整式方程分式方程与增根根式方程与验根方程组中的对称结构

19 · 整数根问题

整数条件与因子枚举二次方程的整数根

20 · 方程的综合问题

公共根与公共因式方程组：消元、降次与构造

函数

42 · 坐标系与函数的概念

平面直角坐标系点的变换、距离与面积函数的概念与图象

43 · 一次函数

一次函数的图象与性质确定解析式与直线的位置关系图象变换与数形结合

44 · 反比例函数

反比例函数的概念、图象与性质比例系数与面积不变性交点与不等式的数形结合

45 · 二次函数的概念与性质

二次函数与抛物线三种表达式与待定系数法从图象读取代数信息

46 · 二次函数的最值与变换

二次函数在区间上的最值含参数的最值与恒成立平移与对称变换含绝对值的图象变换

47 · 二次函数中的数形结合

二次函数、方程与不等式根与一个数的位置关系根在区间中的分布

48 · 二次函数中的代几综合

从几何条件到坐标关系坐标中的面积与最值交点、相切与图象间的距离

平面几何

21 · 平行线

基础概念基础性质几何公理直线间角度与比例

22 · 三角形

三角形的概念与分类三角形的边角关系三角形中的特殊线常见模型

23 · 全等三角形

全等三角形的定义及性质全等三角形的常用判定方法

24 · 常用辅助线（一）

全等的证明逻辑辅助线初步角平分线垂直平分线的性质与判定倍长中线

25 · 常用辅助线（二）

旋转全等弦图全等三垂直全等

26 · 常用辅助线（三）

截长补短角度证明中的截长补短

27 · 特殊三角形

等腰三角形直角三角形三角形的面积斜边中线含特殊角的三角形

28 · 四边形

凸四边形平行四边形矩形与菱形正方形与中点四边形梯形

29 · 相似三角形

相似的概念、性质与判定平行线中的相似平行线分线段成比例面积中的比例比例变形与成比例线段黄金分割

30 · 相似模型（一）

线束模型三角形中的内接正方形射影定理角平分线定理角平分线的进一步关系三平行模型

31 · 相似模型（二）

三垂直与一线三等角共角模型与反平行旋转相似

32 · 几何变换之平移

平移的概念与性质平移的常见用法等积变换

33 · 几何变换之对称

轴对称：保持距离，改变方向将军饮马与折线最短两条边上的动点：连续作对称

34 · 几何变换之旋转

旋转与半角模型等腰直角三角形中的半角三边模型：旋转后集中长度

35 · 圆

圆的基本概念垂径定理与弦心距圆周角定理正多边形与圆

36 · 直线与圆

点、直线与圆的位置关系切线的性质与判定切线长与内切圆弦切角定理圆幂定理的三种构型确定圆与三角形的外接圆

37 · 圆与圆

两圆的位置关系连心线与公共弦两圆相切与相似相交圆中的公共弦两圆的公切线

38 · 四点共圆（一）

四点共圆的基本判定利用角度判定与转移角

39 · 四点共圆（二）

用线段乘积判定共圆切割线的逆用多圆共点：先取交点，再证在圆上

40 · 梅涅劳斯定理与塞瓦定理

梅涅劳斯定理：三点共线塞瓦定理：三线共点共线与共点的转化

41 · 托勒密定理与西姆松定理

托勒密定理及其推广西姆松定理：三个垂足共线

49 · 三角形的外心与垂心

外心：从半径联系边与角垂心：高线与垂足三角形垂心的距离关系与共圆模型

50 · 三角形的重心与内心

重心：中线、面积与距离中线的长度关系内心：角平分线与内切圆旁心：外角平分线的交点

51 · 三角形的五心综合

外心与内心：弧中点模型外心、重心与垂心：欧拉线两个基本三角形特殊角与五心的综合关系

52 · 三角函数的概念与性质

锐角三角函数函数关系与解直角三角形任意角与单位圆诱导关系与三角形面积正弦定理与余弦定理

二次函数、方程与不等式

第 47 章05代数进阶

把符号问题转为图象的上下位置

设

f(x)=ax^2+bx+c

（

a\ne0

），先讨论

a>0

。

f(x)=0

给出与

x

轴的交点；

f(x)>0

表示图象在轴上方，

f(x)<0

表示在轴下方。

47-判别式 — 47-判别式 · 点击放大 / Enlarge

按判别式分类

$\Delta>0$ 设两根 $x_1<x_2$ 。 $f(x)>0$ 的解为 $x<x_1$ 或 $x>x_2$ ； $f(x)<0$ 的解为 $x_1<x<x_2$ 。
$\Delta=0$ 设重根为 $h$ 。 $f(x)\ge0$ 恒成立，只在 $x=h$ 时为0。
$\Delta<0$ $f(x)>0$ 恒成立。

若

a<0

，先将不等式两边乘

-1

并改变不等号方向，再按开口向上处理。

e.g. 条件给出自变量范围

若

x^2+y^2+2x-3=0

，则

y^2=3-x^2-2x\ge0

，得到

-3\le x\le1

。求含

x,y

的式子的最值时，可先消去

y^2

，再在这个区间上讨论。

注意

严格不等式不含零点；带等号时要加入零点。区间

(m,n)

不含端点，

[m,n]

包含端点。

下一篇根与一个数的位置关系

本章知识

二次函数、方程与不等式根与一个数的位置关系根在区间中的分布

Scholia · 2026