三角形的面积

对边

a,b,c

的高分别为

h_a,h_b,h_c

，则

\boxed{S=\frac12ah_a=\frac12bh_b=\frac12ch_c}.

示例　三边长为

7,8,9

。以长为

9

的边作底，作高

AH=h

，设

BH=x

、

HC=y

，则

\left\{\begin{aligned} x^2+h^2&=64,\\y^2+h^2&=49,\\x+y&=9. \end{aligned}\right.

前两式相减得

(x-y)(x+y)=15

，故

x-y=\frac53

，

x=\frac{16}{3}

，

h=\frac{8\sqrt5}{3}

。

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S=\frac12\cdot9\cdot\frac{8\sqrt5}{3}=12\sqrt5.