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多项求和

第 5 章01代数入门

项数很多时，先观察相邻项、首尾项和部分和之间的关系。下面四种方法都在寻找能使计算简化的结构。以下 nn 均为正整数。
首尾配对。设 S=1+2+⋯+nS=1+2+\cdots+n，倒序再写一次：
S=1+2+⋯+(n−1)+n,S=n+(n−1)+⋯+2+1. \begin{aligned} S&=1+2+\cdots+(n-1)+n,\\ S&=n+(n-1)+\cdots+2+1. \end{aligned}
两式相加，每一列都是 n+1n+1，一共有 nn 列。因此
2S=n(n+1),1+2+⋯+n=n(n+1)2. 2S=n(n+1),\qquad \boxed{1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2}.
这种写法对 nn 为奇数或偶数都成立。
相邻配对。交错平方和可先用平方差公式：
12−22+32−42+⋯+(2n−1)2−(2n)2=∑k=1n((2k−1)2−(2k)2)=∑k=1n(1−4k)=n−4⋅n(n+1)2=−n(2n+1). \begin{aligned} 1^2-2^2+3^2-4^2+\cdots+(2n-1)^2-(2n)^2 &=\sum_{k=1}^{n}\bigl((2k-1)^2-(2k)^2\bigr)\\ &=\sum_{k=1}^{n}(1-4k)\\ &=n-4\cdot\frac{n(n+1)}2\\ &=-n(2n+1). \end{aligned}
这里 ∑k=1n\sum_{k=1}^{n} 表示把 k=1,2,…,nk=1,2,\ldots,n 时的各项相加。配对时尤其要核对有多少组、是否留下一项。
设 S=1+t+t2+⋯+tnS=1+t+t^2+\cdots+t^n。两边乘 tt 后，指数恰好错开一位：
S=1+t+t2+⋯+tn,tS=1+t+t2+⋯+tn+tn+1. \begin{aligned} S&=1+t+t^2+\cdots+t^n,\\ tS&=\phantom{1+{}}t+t^2+\cdots+t^n+t^{n+1}. \end{aligned}
第二式减第一式，中间项全部消去，得 (t−1)S=tn+1−1(t-1)S=t^{n+1}-1。所以
1+t+⋯+tn=tn+1−1t−1(t≠1). \boxed{1+t+\cdots+t^n=\frac{t^{n+1}-1}{t-1}\quad(t\ne1).}
若 t=1t=1，原和为 n+1n+1，不能代入上式的分母。例如 1+3+32+⋯+35=(36−1)/2=3641+3+3^2+\cdots+3^5=(3^6-1)/2=364。

5.5　 多项求和 · 裂项抵消与逐次合并

观察
1k(k+1)=1k−1k+1. \frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}.
于是
11⋅2+12⋅3+⋯+1n(n+1)=(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1=nn+1. \begin{aligned} \frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\cdots+\frac1{n(n+1)} &=\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right) +\cdots+\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)\\ &=1-\frac1{n+1}=\boxed{\frac{n}{n+1}}. \end{aligned}
中间项两两抵消，只剩首尾。裂项并不限于分式，例如
2k−1=k2−(k−1)2 2k-1=k^2-(k-1)^2
也能给出 1+3+5+⋯+(2n−1)=n21+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2。使用时先核对拆分恒等式，再检查抵消后究竟留下哪些项。
先观察前几个部分和：
1=12,1+3=22,1+3+5=32. 1=1^2,\qquad 1+3=2^2,\qquad 1+3+5=3^2.
关键不是只凭前几项猜答案，而是找出能一直滚下去的关系。若前 kk 项之和已是 k2k^2，再加入下一项 2k+12k+1，就有
k2+(2k+1)=(k+1)2. k^2+(2k+1)=(k+1)^2.
从 1=121=1^2 出发，每加一个新奇数，部分和就从一个平方变成下一个平方。因此对任意正整数 nn，
1+3+5+⋯+(2n−1)=n2. \boxed{1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2}.
裂项法强调“把每一项拆开后抵消”，滚雪球法强调“部分和与下一项合并后仍保持同一种形式”。同一道题可以从不同角度解决。
推广到连乘。平方差公式也能让乘积不断“滚大”：
(x−1)(x+1)=x2−1,(x2−1)(x2+1)=x4−1,(x4−1)(x4+1)=x8−1. \begin{aligned} (x-1)(x+1)&=x^2-1,\\ (x^2-1)(x^2+1)&=x^4-1,\\ (x^4-1)(x^4+1)&=x^8-1. \end{aligned}
因此，对非负整数 mm，
(x−1)(x+1)(x2+1)(x4+1)⋯(x2m+1)=x2m+1−1. (x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)\cdots(x^{2^m}+1)=x^{2^{m+1}}-1.
例如计算 (3+1)(32+1)(34+1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1) 时，可先补上因子 3−1=23-1=2，滚动合并得到 38−13^8-1，最后除以 22。补因子后要还原；若需要除以 x−1x-1，须先保证 x≠1x\ne1。