凑出共同分子

例如：化简

S=\frac c{a+b}+\frac a{b+c}+\frac b{c+a}.

观察到每一项的分子加上分母，都成为

a+b+c

。于是

\frac c{a+b}=\frac{a+b+c}{a+b}-1,

其余两项作同样处理，就得到

\begin{aligned} S&=\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c} +\frac{a+b+c}{c+a}-3\\[4pt] &=\boxed{(a+b+c)\left(\frac1{a+b}+\frac1{b+c}+\frac1{c+a}\right)-3}. \end{aligned}

这样就把三个不同的分子，转化成了同一个整体 $a+b+c$ 。若已知这个和及括号内的倒数和，即可直接代入。