常见题型 · Scholia

基本模型：

\frac{a-b}{ab}=\frac1b-\frac1a,\qquad \frac{a+b}{ab}=\frac1b+\frac1a.

分子不是现成的差，就先配出这个差。例如，

n

为正整数时，

\begin{aligned} \frac1{n(n+1)} &=\frac{(n+1)-n}{n(n+1)} =\frac1n-\frac1{n+1},\\[5pt] \frac1{n(n+3)} &=\frac13\cdot\frac{(n+3)-n}{n(n+3)} =\frac13\left(\frac1n-\frac1{n+3}\right). \end{aligned}

分母是两个一次式的乘积时，也可以作同样的处理：

\begin{aligned} \frac{a-b}{(1+a)(1+b)} &=\frac{(1+a)-(1+b)}{(1+a)(1+b)}\\ &=\frac1{1+b}-\frac1{1+a}. \end{aligned}

裂项后按顺序相加，注意检查哪些项抵消、首尾还剩哪些项。

已知和，求平方和、立方和：

\begin{aligned} a^2+\frac1{a^2}&=\left(a+\frac1a\right)^2-2,\\[5pt] a^3+\frac1{a^3}&=\left(a+\frac1a\right) \left(a^2-1+\frac1{a^2}\right). \end{aligned}

例如，若

a+\dfrac1a=3

，则

a^2+\dfrac1{a^2}=3^2-2=7

，进而

a^3+\frac1{a^3}=3(7-1)=18.

已知差时，注意公式中的符号：

\begin{aligned} a^2+\frac1{a^2}&=\left(a-\frac1a\right)^2+2,\\[5pt] a^3-\frac1{a^3}&=\left(a-\frac1a\right) \left(a^2+1+\frac1{a^2}\right). \end{aligned}