定义　恰有一组对边平行

恰有一组对边平行的四边形叫做梯形。平行的两边叫做底，另外两边叫做腰；两底之间的距离叫做高。

较短的底叫上底，较长的底叫下底，与图形摆放位置无关。

梯形 · 点击放大 / Enlarge

边　上下底平行。

角　同一腰上的两个内角互补。

对角线　一般没有相等、垂直或互相平分的性质。

常见辅助线

平移一腰　集中两腰与两底之差

平移一腰1 · 点击放大 / Enlarge

过

D

作

DE\parallel AB

，交

BC

于

E

。得到平行四边形

ABED

，故

DE=AB

，

EC=BC-AD

。

在

\triangle DEC

中集中两腰和底差。

平移一腰2 · 点击放大 / Enlarge

过

C

作

CE\parallel AB

，交

AD

延长线于

E

。此时

CE=AB

，

DE=BC-AD

。

同样在

\triangle DEC

中研究三边关系。

基本辅助线　作双高，分成矩形与直角三角形

过

A,D

分别作

AE\perp BC

、

DF\perp BC

。

梯形被分成矩形

AEFD

和两个直角三角形，底差

BC-AD

转化为

BE+FC

。

常用于面积，以及腰长、高、对角线长的计算。

双高 · 点击放大 / Enlarge

延长两腰　补成三角形

延长

BA,CD

，交于点

E

，把梯形补成

\triangle EBC

。

原来的两底仍然平行，可在完整三角形中利用角度关系、等腰结构等条件。

补成三角形 · 点击放大 / Enlarge

连接腰中点　拼成等面积三角形

设

M

是腰

CD

的中点。连接

AM

并延长，交

BC

延长线于

E

。

由

\triangle AMD\cong\triangle EMC

，把梯形的一部分转移到外侧，得到

S_{ABCD}=S_{\triangle ABE}.

这是遇到梯形腰中点时常用的倍长思路，也可用于中位线的证明。

倍长1 · 点击放大 / Enlarge

平移对角线　集中两条对角线与两底之和

过

D

作

DE\parallel AC

，交

BC

延长线于

E

。

四边形

ADEC

是平行四边形，故

DE=AC

，

CE=AD

。因此

BE=BC+AD.

在

\triangle BDE

中集中两条对角线和两底之和，常用于对角线长度或夹角问题。

平移对角线 · 点击放大 / Enlarge

过腰中点作平行线　拼成等面积平行四边形

仍设

M

为

CD

中点。过

M

作

EF\parallel AB

，分别交

AD

延长线、

BC

于

E,F

。

由

\triangle DME\cong\triangle CMF

，将梯形拼成平行四边形

ABFE

，得到

S_{ABCD}=S_{ABFE}.

倍长2 · 点击放大 / Enlarge

特殊梯形

等腰梯形与直角梯形

等腰梯形　两腰相等的梯形。

等腰梯形 · 点击放大 / Enlarge

性质　两腰相等；同一底上的两个角相等；两条对角线相等。

判定　在梯形中，以上三个条件任意一个成立，即为等腰梯形。

直角梯形　有一个直角的梯形。

直角梯形 · 点击放大 / Enlarge

一腰垂直于两底。

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