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高次乘方公式与杨辉三角

第 5 章01代数入门

从已经学过的公式出发。二次时称为完全平方公式，三次时称为完全立方公式；研究一般的 (a+b)n(a+b)^n，我们称之为二项式的乘方展开。先把前四种情形排在一起：
(a+b)0=1(a+b≠0),(a+b)1=a+b,(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3. \begin{aligned} (a+b)^0&=1\quad(a+b\ne0),\\ (a+b)^1&=a+b,\\ (a+b)^2&=a^2+2ab+b^2,\\ (a+b)^3&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3. \end{aligned}
由三次推到四次。把指数 44 拆成 3+13+1，就能利用已知公式：
(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+3a3b+3a2b2+ab3+a3b+3a2b2+3ab3+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. \begin{aligned} (a+b)^4 &=(a+b)^3(a+b)\\ &=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)(a+b)\\ &=a^4+3a^3b+3a^2b^2+ab^3\\ &\quad{}+a^3b+3a^2b^2+3ab^3+b^4\\ &=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4. \end{aligned}
观察中间的 a2b2a^2b^2 项：它一部分来自 3a2b⋅b3a^2b\cdot b，另一部分来自 3ab2⋅a3ab^2\cdot a，所以系数是 3+3=63+3=6。同理，a3ba^3b 的系数是 3+1=43+1=4。

5.2　 高次乘方公式与杨辉三角 · 系数的递推与变号

把系数单独取出来，就是杨辉三角。
指数展开式的系数01111212131331414641515101051 \begin{array}{cc} \text{指数}&\text{展开式的系数}\\[2pt] 0&1\\ 1&1\quad1\\ 2&1\quad2\quad1\\ 3&1\quad3\quad3\quad1\\ 4&1\quad4\quad6\quad4\quad1\\ 5&1\quad5\quad10\quad10\quad5\quad1 \end{array}
每行两端都是 11，中间每个数都是上一行相邻两数之和。这正是“分别乘 aa、乘 bb 后合并同类项”的结果，而不是另一个需要孤立记忆的规律。
第 nn 行有 n+1n+1 个系数，依次配上
an, an−1b, an−2b2, …, abn−1, bn. a^n,\ a^{n-1}b,\ a^{n-2}b^2,\ \ldots,\ ab^{n-1},\ b^n.
每项的总次数都是 nn；aa 的指数逐次减 11，bb 的指数逐次加 11。例如，沿着第五行可写出
(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5. (a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5.