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旁心：外角平分线的交点

第 50 章06几何进阶

50-旁心
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角度与半径
∠BJC=90∘−A2.\boxed{\angle BJC=90^\circ-\frac A2}.
若旁切圆半径为 rar_a，则
S=(s−a)ra,ra=Ss−a.\boxed{S=(s-a)r_a},\qquad r_a=\frac S{s-a}.
循环可得 rb=Ss−br_b=\frac S{s-b}、rc=Ss−cr_c=\frac S{s-c}。

旁切圆面积公式的来源

将 JJ 与三个顶点相连。图中 JJ 与 AA 在 BCBC 的异侧，将三个以 JJ 为顶点的三角形面积相加减：
SABC=SABJ+SACJ−SBCJ=12(c+b−a)ra=(s−a)ra.S_{ABC}=S_{ABJ}+S_{ACJ}-S_{BCJ} =\frac12(c+b-a)r_a=(s-a)r_a.