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对称式与 p、q、r 方法

第 5 章01代数入门

从二元对称式到三元对称式。上一节曾用 a+ba+b、abab 计算
a2+b2=(a+b)2−2ab,a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b). a^2+b^2=(a+b)^2-2ab,\qquad a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b).
这些式子有一个共同特点：交换 a,ba,b 后，式子不变。加入第三个字母 cc 后，我们仍然寻找这种“不因字母交换而改变”的结构。
注意：p,q,rp,q,r 对原字母的次数分别是 1,2,31,2,3。例如四次对称式可以由 p4,p2q,q2,prp^4,p^2q,q^2,pr 组合而成，这能帮助我们检查公式是否合理。

5.3　 对称式与 p、q、r 方法 · 四组常用恒等式

（1）平方和与两两乘积的平方和。分别展开 p2p^2、q2q^2：
p2=a2+b2+c2+2q,q2=a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c). \begin{aligned} p^2&=a^2+b^2+c^2+2q,\\ q^2&=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c). \end{aligned}
因此
a2+b2+c2=p2−2q,a2b2+b2c2+c2a2=q2−2pr. \boxed{a^2+b^2+c^2=p^2-2q},\qquad \boxed{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=q^2-2pr}.
（2）立方和：直接使用上一节的欧拉公式。
a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)=p((p2−2q)−q)=p(p2−3q). \begin{aligned} a^3+b^3+c^3-3abc &=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\\ &=p\bigl((p^2-2q)-q\bigr)\\ &=p(p^2-3q). \end{aligned}
把 3abc=3r3abc=3r 移到右边，就得到
a3+b3+c3=p3−3pq+3r. \boxed{a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r}.
（3）六项三次对称式。展开 pqpq，恰好出现六个混合项和三个 abcabc：
pq=(a+b+c)(ab+bc+ca)=a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2+3abc. \begin{aligned} pq&=(a+b+c)(ab+bc+ca)\\ &=a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+3abc. \end{aligned}
所以六项之和为 pq−3rpq-3r。另外，直接展开可得
(a+b)(b+c)(c+a)=pq−r. \boxed{(a+b)(b+c)(c+a)=pq-r}.
（4）四次方和。把平方和再平方，减去两倍的交叉项：
a4+b4+c4=(a2+b2+c2)2−2(a2b2+b2c2+c2a2)=(p2−2q)2−2(q2−2pr)=p4−4p2q+2q2+4pr. \begin{aligned} a^4+b^4+c^4 &=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\\ &=(p^2-2q)^2-2(q^2-2pr)\\ &=\boxed{p^4-4p^2q+2q^2+4pr}. \end{aligned}

5.3　 对称式与 p、q、r 方法 · 从已知条件到整体求值