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正弦定理与余弦定理

第 52 章06几何进阶

52-正弦定理
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借助直径证明
作直径 ATAT，连接 BTBT，则 ∠ABT=90∘\angle ABT=90^\circ，
sin⁡∠ATB=ABAT=c2R.\sin\angle ATB=\frac{AB}{AT}=\frac c{2R}.
同弦 ABAB 所对圆周角相等或互补，正弦相同，所以 c/sin⁡C=2Rc/\sin C=2R。另外两边同理。

边角与形状判断

若 cc 为最长边，则
c2<a2+b2⟺锐角三角形,c2=a2+b2⟺直角三角形,c2>a2+b2⟺钝角三角形.\begin{array}{ccl} c^2<a^2+b^2&\Longleftrightarrow&\text{锐角三角形},\\ c^2=a^2+b^2&\Longleftrightarrow&\text{直角三角形},\\ c^2>a^2+b^2&\Longleftrightarrow&\text{钝角三角形}. \end{array}
例如两边为 3,43,4，夹角 60∘60^\circ，第三边的平方为 32+42−2⋅3⋅4cos⁡60∘=133^2+4^2-2\cdot3\cdot4\cos60^\circ=13。