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猜根法与因式定理

第 7 章01代数入门

先确定有理根的候选范围

整系数多项式的首尾形式 		有理根的候选值
x5+⋯+2x^5+\cdots+2 		±1, ±2\pm1,\ \pm2
3x10+⋯+13x^{10}+\cdots+1 ±1, ±13\pm1,\ \pm\dfrac13
2x6+⋯+32x^6+\cdots+3 ±1, ±3, ±12, ±32\pm1,\ \pm3,\ \pm\dfrac12,\ \pm\dfrac32
候选值还须逐个代入检验。特别地：f(1)f(1) 是各项系数之和；f(−1)f(-1) 是偶次项系数之和减去奇次项系数之和。若常数项为 00，先提取因式 xx。

找到一个根，先降一次

例如，f(x)=x3−6x2+11x−6f(x)=x^3-6x^2+11x-6。代入得到 f(1)=0f(1)=0，所以可提取 x−1x-1。用多项式除法，或拆项分组：
f(x)=(x3−x2)−5(x2−x)+6(x−1)=(x−1)(x2−5x+6)=(x−1)(x−2)(x−3). \begin{aligned} f(x)&=(x^3-x^2)-5(x^2-x)+6(x-1)\\ &=(x-1)(x^2-5x+6)\\ &=(x-1)(x-2)(x-3). \end{aligned}