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待定系数法

第 7 章01代数入门

例如，分解 F=x4+2x3+3x2+2x+1F=x^4+2x^3+3x^2+2x+1。有理根只可能为 ±1\pm1，而 F(1)=9F(1)=9、F(−1)=1F(-1)=1，故没有有理系数的一次因式。可以尝试“二次乘二次”，先设
F=(x2+ux+1)(x2+vx+1). F=(x^2+ux+1)(x^2+vx+1).
展开右边：
x4+(u+v)x3+(uv+2)x2+(u+v)x+1. x^4+(u+v)x^3+(uv+2)x^2+(u+v)x+1.
比较系数，得到 u+v=2u+v=2、uv=1uv=1，所以 u=v=1u=v=1。于是
F=(x2+x+1)2. \boxed{F=(x^2+x+1)^2}.